13 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Trang trước Trang sau

Với 13 bài tập trắc nghiệm Tổng và hiệu của hai vectơ Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 10.

Lý thuyết Toán 10 Bài 2: Tổng và hiệu của hai vectơ (hay, chi tiết)

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Kết quả nào sau đây đúng?

A. $\vec{A B} = \vec{O A} - \vec{O B}$ ;

B. $\vec{C O} - \vec{O B} = \vec{B A}$ ;

C. $\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{A C}$ ;

D. $\vec{A O} + \vec{O D} = \vec{C B}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

13 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A} = - \vec{A B}$ ⇒ A sai.

Đáp án B:

Vì ABCD là hình bình hành có tâm O nên O là trung điểm BD.

Do đó ta có $\vec{O B} = - \vec{O D}$ .

Ta có $\vec{C O} - \vec{O B} = \vec{C O} + \vec{O D} = \vec{C D} = \vec{B A}$ ⇒ B đúng.

Đáp án C: $\vec{A B} - \vec{A D} = \vec{D B} \neq \vec{A C}$ (vì AC và BD là hai đường chéo của hình bình hành ABCD) ⇒ C sai.

Đáp án D: $\vec{A O} + \vec{O D} = \vec{A D} = - \vec{C B}$ ⇒ D sai.

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 2. Cho 5 điểm M, N, P, Q, R. Tính tổng $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R}$ .

A. $\vec{M R}$ ;

B. $\vec{M N}$ ;

C. $\vec{P R}$ ;

D. $\vec{M P}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{M N} + \vec{P Q} + \vec{R N} + \vec{N P} + \vec{Q R} = (\vec{M N} + \vec{N P}) + (\vec{P Q} + \vec{Q R}) + \vec{R N}$ .

$= \vec{M P} + \vec{P R} + \vec{R N} = \vec{M R} + \vec{R N} = \vec{M N}$ .

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 3. Cho tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng a. Độ dài $\vec{A B} + \vec{B C}$ bằng

A. a;

B. 2a;

C. $a \sqrt{3}$ ;

D. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Vì tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng a nên ta có AC = a.

Độ dài $\vec{A B} + \vec{B C}$ là: $(\vec{A B} + \vec{B C}) = (\vec{A C}) = A C = a$ .

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 4. Cho 6 điểm phân biệt A, B, C, D, E, F. Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{F A} + \vec{B C} + \vec{EF} + \vec{D E} = \vec{0}$ ;

B. $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{F A} + \vec{B C} + \vec{EF} + \vec{D E} = \vec{AF}$ ;

C. $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{F A} + \vec{B C} + \vec{EF} + \vec{D E} = \vec{AE}$ ;

D. $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{F A} + \vec{B C} + \vec{EF} + \vec{D E} = \vec{AD}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có $\vec{A B} + \vec{C D} + \vec{F A} + \vec{B C} + \vec{EF} + \vec{D E}$

$= (\vec{F A} + \vec{A B}) + (\vec{B C} + \vec{C D}) + (\vec{D E} + \vec{EF})$

$= \vec{F B} + \vec{B D} + \vec{D F}$

$= \vec{F D} + \vec{D F} = \vec{F F} = \vec{0}$

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 5. Cho tam giác ABC, với M là trung điểm BC. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\vec{A M} + \vec{M B} + \vec{B A} = \vec{0}$ ;

B. $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{A B}$ ;

C. $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{M C}$ ;

D. $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A M}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: $\vec{A M} + \vec{M B} + \vec{B A} = (\vec{B A} + \vec{A M}) + \vec{M B} = \vec{B M} + \vec{M B} = \vec{B B} = \vec{0}$ ⇒ chọn A.

Đáp án B, C:

Vì M là trung điểm BC nên ta có $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ ⇒ loại đáp án B, C.

Đáp án D: Theo quy tắc hình bình hành, ta có: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ , với D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình bình hành.

Mà M là trung điểm BC nên M không thể trùng với D ⇒ loại đáp án D.

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, BC = 5. Tính $(\vec{A B} + \vec{B C})$ .

A. 3;

B. 4;

C. 5;

D. 6.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

Tam giác ABC vuông tại A: AC² = BC² – AB² (Định lý Pytago)

⇔ AC² = 5² – 3² = 16.

⇒ AC = 4.

Do đó ta có: $(\vec{A B} + \vec{B C}) = (\vec{A C}) = A C = 4$ .

Vậy ta chọn đáp án B.

Câu 7. Cho ba điểm phân biệt A, B, C. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\vec{C A} - \vec{B A} = \vec{B C}$ ;

B. $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{B C}$ ;

C. $\vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C B}$ ;

D. $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{C A}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: $\vec{C A} - \vec{B A} = \vec{C A} + \vec{A B} = \vec{C B} = - \vec{B C}$ ⇒ loại A.

Đáp án B: $\vec{A B} + \vec{A C} = \vec{A D}$ (với D là điểm thỏa mãn tứ giác ABDC là hình bình hành).

Mà AD và BC là 2 đường chéo của hình bình hành ABDC.

Do đó $\vec{A D} \neq \vec{B C}$ ⇒ loại B.

Đáp án C: $\vec{A B} + \vec{C A} = \vec{C A} + \vec{A B} = \vec{C B}$ (đúng) ⇒ chọn C.

Đáp án D: $\vec{A B} - \vec{B C} = \vec{A B} + \vec{C B} \neq \vec{C A}$ (khi cộng hai vectơ theo quy tắc 3 điểm, điểm cuối của vectơ thứ nhất phải là điểm đầu của vectơ thứ hai) ⇒ loại D.

Vậy ta chọn đáp án C.

Câu 8. Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{0}$ . Xác định vị trí điểm M.

A. M là điểm thứ tư của hình bình hành ACBM;

B. M là trung điểm của đoạn thẳng AB;

C. Điểm M trùng với điểm C;

D. M là trọng tâm của tam giác ABC.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Do đó M ≡ G.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 9. Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Tìm đẳng thức sai.

A. $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A C}$ ;

B. $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A D}$ ;

C. $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{M C} + \vec{N C}$ ;

D. $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{D B}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

13 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) | Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Ta xét từng đáp án:

Đáp án A: Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

Tứ giác AMCN là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A C}$ ⇒ A đúng.

Đáp án B: Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

Tứ giác ABCD là hình bình hành $\Leftrightarrow \vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ .

Mà từ đáp án A, ta có $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A C}$ .

Do đó ta có $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A D} (= \vec{A C})$ ⇒ B đúng.

Đáp án C: Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có $\vec{A M} = \vec{N C}$ và $\vec{A N} = \vec{M C}$ .

Do đó từ đáp án B, ta có $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{N C} + \vec{M C}$ ⇒ C đúng.

Đáp án D: Tứ giác ABCD là hình bình hành có AC và BD là hai đường chéo.

Do đó $\vec{A C} \neq \vec{B D}$ .

Vì vậy $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A C} \neq \vec{D B}$ ⇒ D sai.

Vậy ta chọn đáp án D.

Câu 10. Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm O là trung điểm của đoạn AB?

A. OA = OB;

B. $\vec{O A} = \vec{O B}$ ;

C. $\vec{A O} = \vec{B O}$ ;

D. $\vec{O A} + \vec{O B} = \vec{0}$ .

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ .

Do đó M ≡ O.

Vậy ta chọn đáp án D.

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho tam giác $A B C$ . Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành $A B I J, B C P Q, C A R S .$

a) $\vec{R J} = \vec{R A} + \vec{A J}$ .

b) $\vec{I Q} = \vec{I B} + \vec{Q B}$ .

c) $\vec{P S} = \vec{P C} + \vec{S C}$ .

d) $\vec{R J} + \vec{I Q} + \vec{P S} = \vec{0}$ .

Hiển thị đáp án

13 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10 (ảnh 1)

a) Đúng. Theo quy tắc ba điểm, ta có $\vec{R J} = \vec{R A} + \vec{A J}$ .

b) Sai. Ta có $\vec{I Q} = \vec{I B} + \vec{B Q}$ .

c) Sai. Ta có $\vec{P S} = \vec{P C} + \vec{C S}$ .

d) Đúng. Do $C A R S$ là hình bình hành nên $\vec{R A} = \vec{S C}$ .

Do $A B I J$ là hình bình hành nên $\vec{A J} = \vec{- I B}$ .

Khi đó, $\vec{R J} = \vec{R A} + \vec{A J} = \vec{S C} - \vec{I B}$ .

Do $B C P Q$ là hình bình hành nên $\vec{B Q} = \vec{C P}$ .

Khi đó, $\vec{I Q} = \vec{I B} + \vec{B Q} = \vec{I B} + \vec{C P}$ .

Vậy ta có

$\vec{R J} + \vec{I Q} + \vec{P S}$ $= (\vec{S C} - \vec{I B}) + (\vec{I B} + \vec{C P}) + (\vec{P C} + \vec{C S})$

$= (\vec{S C} + \vec{C S}) + (\vec{I B} - \vec{I B}) + (\vec{C P} + \vec{P C}) = \vec{0}$ .

Vậy $\vec{R J} + \vec{I Q} + \vec{P S} = \vec{0}$ .

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Có hai lực $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ cùng tác động vào một vật đứng tại điểm $O$ , biết hai lực $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ đều có cường độ là $50 (N)$ và chúng hợp với nhau một góc $60 °$ . Hỏi vật đó phải chịu một lực tổng hợp có cường độ bằng bao nhiêu Newton (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hiển thị đáp án

13 Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10 (ảnh 2)

Giả sử $\vec{F_{1}} = \vec{O A}$ , $\vec{F_{2}} = \vec{O B}$ .

Theo quy tắc hình bình hành, suy ra $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} = \vec{O C}$ , như hình vẽ.

Ta có $\hat{A O B} = 60 °$ , $O A = O B = 50$ , nên tam giác $O A B$ đều, suy ra $O C = 50 \sqrt{3}$ .

Vậy $|\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}}| = |\vec{O C}| = 50 \sqrt{3} (N)$ $\approx 86, 6 (N)$ .

Đáp án: 86,6.

Câu 2. Cho ba lực $\vec{F_{1}} = \vec{M A}$ , $\vec{F_{2}} = \vec{M B}$ , $\vec{F_{3}} = \vec{M C}$ cùng tác động vào một vật tại điểm $M$ và vật đứng yên. Cho biết cường độ của $\vec{F_{1}}$ , $\vec{F_{2}}$ đều bằng $25 N$ và $\hat{A M B} = 60 °$ . Khi đó cường độ lực của $\vec{F_{3}}$ bằng $a \sqrt{3}$ N. Xác định giá trị của $a$ .