15 Bài tập Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: A

Ta chọn 3 phần tử bất kỳ trong 7 phần tử ta sẽ được một tập con có 3 phần tử của tập có 7 phần tử. Vậy mỗi cách chọn như vậy là là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.

Số tập con là $C_7^3$

Đáp án đúng là: B

Vì xếp vào bàn tròn nên vị trí xếp đầu tiên là như nhau nên có 1 cách xếp, ta xếp 7 người còn lại vào 7 vị trí nên có 7! Cách xếp

Vậy có 1.7! = 5040 cách xếp

Đáp án đúng là: D

Chọn An có 1 cách chọn.

Chọn 3 bạn trong 11 bạn còn lại có $C_{11}^3=165$ cách chọn.

Vậy có 1.165 = 165 cách chọn.

Đáp án đúng là: C

Ta lập nhóm có 2 học sinh: ta chọn bất kỳ 2 học sinh trong 10 học sinh có $C_{10}^2$ cách

Ta lập nhóm có 3 học sinh: vì chọn 2 học sinh để lập nhóm đầu tiên nên còn lại 8 học sinh, ta chọn 3 học sinh bất kì trong 8 học sinh có $C_8^3$ cách

Ta lập nhóm có 5 học sinh: vì đã lập nhóm có 2 và 3 học sinh nên còn lại 5 học sinh, ta chọn 5 học sinh để lập thành nhóm có $C_5^5$ cách

Vậy có $C_{10}^2$. $C_8^3$. $C_5^5$ cách

Đáp án đúng là: B

Giả sử ta có 2 điểm A, B phân biệt thì có hai vectơ là vectơ $\overrightarrow{AB}$ và vectơ $\overrightarrow{BA}$

Vì cứ chọn 2 điểm bất kỳ trong 10 điểm ta được hai vectơ nên mỗi cách chọn ra 2 điểm trong 10 điểm là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử. Hay số vectơ được tạo thành từ 10 điểm phân biệt là chỉnh hợp chập 2 của 10. Vậy số vectơ được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau là 2. $C_{10}^2$ = $A_{10}^2$ = 90 (vectơ).

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách chọn ra 2 học sinh từ một tổ có 10 học sinh và phân công giữ chức vụ tổ trưởng, tổ phó là một chỉnh hợp chập 2 của 10 phần tử. Số cách chọn là $A_{10}^2$ = 90 cách.

Đáp án đúng là: B

Vì có 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ ngồi xen kẽ nên học sinh nữ phải ngồi vị trí đầu tiên. Xếp 3 học sinh nữ có 3! Cách, xếp 2 học sinh nam có 2! Cách.

Vậy có 3!.2! = 12 cách

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x ℕ, x ≥ 2.

Ta có: $A_x^2=90\iff \frac{x!}{\left(x-2\right)!}=90\iff x(x-1)=90\iff \left(\begin{array}{c}x=10\\ x=-9\end{array}\right)$.

So sánh điều kiện ta nhận x = 10 thoả mãn

Vậy x thoả mãn điều kiện 2x + 3 > 20

Đáp án đúng là: A

Tổng số đường chéo và cạnh của đa giác là: $C_n^2$

⇒ Số đường chéo của đa giác là $C_n^2-n$.

Ta có: Số đường chéo bằng số cạnh

$\iff C_n^2-n=n$ $\iff \frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=2n$ ⇔ n(n – 1) = 4n ⇔ n – 1 = 4 ⇔ n = 5

Vậy n thuộc khoảng (4; 7)

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: m ≥ n + 2; m, n ∈ ℕ

Theo tính chất $C_m^n=C_m^{m-n}$ nên $C_m^n=C_m^{n+2}$ từ suy ra 2n + 2 = m

$C_m^2=153$ $\iff \frac{m!}{2!(m-2)!}=153$ $\iff \frac{m\left(m-1\right)}{2}=153$

$\iff m^2-m-306=0\iff \left(\begin{array}{c}m=18\\ m=-17\end{array}\right)$

Kết hợp với điều kiện m = 18 ⇒ n = 8

Vậy m + n = 18 + 8 = 26.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện n ≥ 17; n ∈ ℕ, ta có $C_n^4=20C_n^2$ $\iff \frac{n!}{4!\left(n-4\right)!}=20\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}$

⇔ (n – 2)(n – 3) = 240 $\Rightarrow \left(\begin{array}{c}n=18\\ n=-13\end{array}\right)$

Kết hợp với điều kiện n = 18 thoả mãn. Vậy $M=A_3^2+3A_4^3$ = 78.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện n ∈ ℕ, n ≥ 2.

Ta có $3C_{n+1}^3-3A_n^2=42\left(n-1\right)$ $\iff 3\frac{\left(n+1\right)!}{3!\left(n-2\right)!}-3\frac{n!}{\left(n-2\right)!}=42\left(n-1\right)$

$\iff 3\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{\mathrm{3.2.1.}(n-2)\mathrm{...1}}-3\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{(n-2)(n-3)\mathrm{...1}}=42(n-1)$

$\iff \frac{\left(n+1\right)n\left(n-1\right)}{2}-3n\left(n-1\right)=42\left(n-1\right)$

⇔ (n + 1)n – 6n = 84

⇔ n² – 5n – 84 = 0

$\iff \left(\begin{array}{c}n=12\\ n=-7\end{array}\right)$

Kết hợp điều kiện ta có n = 12 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Giá trị của biểu thức $3C_n^4-A_n^2$ = $3C_{12}^4-A_{12}^2$ =1353.

Đáp án đúng là: C

Theo đề bài: Vì trong tập A không có 3 điểm nào thẳng hàng nên lấy bất kỳ 3 điểm của tập A sẽ tạo thành một tam giác và lấy 2 điểm bất kì của tập A sẽ tạo thành một đoạn thẳng. Số tam giác lập được là $C_n^3$, số đoạn thẳng có thể tạo thành là $C_n^2$. Theo bài ra ta có $C_n^3=2C_n^2$ (1) (với n ∈ ℕ, n ≥ 3)

$\iff \frac{n!}{3!\left(n-3\right)!}=2\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}\iff \frac{1}{6}=\frac{1}{n-2}\iff n=8$

Đáp án đúng là: A

Lấy ra 5 bóng đèn bất kỳ thoả mãn bóng đèn loại I nhiều hơn bóng đèn loại II nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Lấy được 5 bóng đèn loại I: có $C_5^5$ = 1 cách

Trường hợp 2: Lấy được 4 bóng đèn loại I, 1 bóng đèn loại II: có $C_5^4.C_7^1$ = 35 cách

Trường hợp 3: Lấy được 3 bóng đèn loại I, 1 bóng đèn loại II: có $C_5^3.C_7^2$ = 210 cách

Theo quy tắc cộng, có 1 + 35 + 210 = 246 cách

Đáp án đúng là: A

Ta có $A_n^2-C_{n+1}^{n-1}=4n+6$

$\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}-\frac{\left(n+1\right)!}{2!\left(n-1\right)!}=4n+6$

⇔ 2(n – 1)n – n(n + 1) = 8n + 12

⇔ n² – 11n – 12 = 0 $\iff \left(\begin{array}{c}n=12\\ n=-1\end{array}\right)$

Kết hợp với điều kiện n = 12 thoả mãn điều kiện đề bài.

Vậy P = $3C_n^3+2A_n^4-2n$ = $3C_{12}^3+2A_{12}^4-2.12$ = 24396.