13 Bài tập Tích vô hướng của hai vectơ (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 10
Với 13 bài tập trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ
các mức độ sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 10.
Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2 , AD = 1. Tính góc giữa hai vectơ A C → và B D → .
A. 89°;
B. 92°;
C. 109°;
D. 91°.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: C
Tam giác ACD vuông tại D: cos C A D ^ = A D A C .
Tam giác ABC vuông tại B: cos C A B ^ = A B A C .
Ta có A C → . B D → = A C → . A D → − A B → = A C → . A D → − A C → . A B → .
= A C . A D . cos C A D ^ − A C . A B . cos C A B ^
= A C . A D . A D A C − A C . A B . A B A C
= AD2 – AB2 = 1 – 2 = –1.
Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có CD = AB = 2 và AC = BD.
Tam giác ACD vuông tại D: AC2 = AD2 + CD2 (Định lý Pytago)
⇔ A C 2 = 1 2 + 2 2 = 3
⇒ A C = 3 .
Do đó BD = AC = 3 .
Lại có: A C → . B D → = A C . B D . cos A C → , B D →
⇔ − 1 = 3 . 3 . cos A C → , B D →
⇔ cos A C → , B D → = − 1 3 .
⇒ A C → , B D → ≈ 109 ° 28 ' .
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 2. Cho tam giác đều ABC có đường cao AH. Tính A H → , B A → .
A. 30°;
B. 60°;
C. 120°;
D. 150°.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: D
Vẽ A E → = B A → .
Khi đó ta có A H → , B A → = A H → , A E → = H A E ^ = α .
Tam giác ABC đều có AH là đường cao.
Suy ra AH cũng là đường phân giác của tam giác ABC.
Tam giác ABC đều, suy ra B A C ^ = 60 ° .
Do đó H A B ^ = 1 2 B A C ^ = 1 2 .60 ° = 30 ° .
Ta có: H A E ^ + H A B ^ = 180 ° (hai góc kề bù)
⇔ H A E ^ = 180 ° − 30 ° = 150 ° .
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 3. Cho a → và b → là hai vectơ cùng hướng và đều khác 0 → . Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. a → . b → = a → . b → ;
B. a → . b → = 0 ;
C. a → . b → = − 1 ;
D. a → . b → = − a → . b → .
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: A
Ta có a → . b → = a → . b → . cos a → , b → .
Vì a → và b → là hai vectơ cùng hướng và đều khác 0 → nên a → , b → = 0 ° , suy ra cos a → , b → = 1 .
Ta suy ra a → . b → = a → . b →
Vậy ta chọn đáp án A.
Câu 4. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng O A → + O B → . A B → = 0 là:
A. Tam giác OAB đều;
B. Tam giác OAB cân tại O;
C. Tam giác OAB vuông tại O;
D. Tam giác OAB vuông cân tại O.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: B
Ta có O A → + O B → . A B → = 0 ⇔ O A → + O B → . O B → − O A → = 0
⇔ O B → 2 − O A → 2 = 0
⇔ OB2 – OA2 = 0
⇔ OB = OA.
Do đó tam giác OAB cân tại O.
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 5. Cho hai vectơ a → và b → thỏa mãn a → = 3 , b → = 2 và a → . b → = − 3 . Xác định góc α giữa hai vectơ a → và b → .
A. α = 30°;
B. α = 45°;
C. α = 60°;
D. α = 120°.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: D
Ta có a → . b → = a → . b → . cos a → , b →
⇔ cos a → , b → = a → . b → a → . b → = − 3 3.2 = − 1 2
⇒ a → , b → = 120 ° .
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 6. Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
A. M N → N P → + P Q → = M N → . N P → + M N → . P Q → ;
B. M P → . M N → = − M N → . M P → ;
C. M N → . P Q → = P Q → . M N → ;
D. M N → − P Q → M N → + P Q → = M N 2 − P Q 2 .
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: B
Đáp án A đúng theo tính chất phân phối của tích vô hướng.
Đáp án B sai. Sửa lại: M P → . M N → = M N → . M P → .
Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán của tích vô hướng.
Đáp án D đúng, ta sử dụng bình phương vô hướng và hằng đẳng thức.
Câu 7. Cho AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5cm. Tính C A → . C B → .
A. C A → . C B → = 13;
B. C A → . C B → = 15;
C. C A → . C B → = 17;
D. C A → . C B → = 19.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: B
Ta có 2 + 3 = 5 (cm). Ta suy ra AB + BC = AC.
Do đó ba điểm A, B, C thẳng hàng và điểm B nằm giữa hai điểm A và C.
(A, B, C không thể là ba đỉnh của tam giác vì không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác).
Suy ra A C B ^ = 0 ° . Do đó C A → , C B → = A C B ^ = 0 ° .
Khi đó C A → . C B → = C A . C B . cos C A → , C B → = 3.5. cos 0 ° = 15 .
Vậy ta chọn đáp án B.
Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P = A C → . C D → + C A → .
A. P = – 1;
B. P = 3a2 ;
C. P = – 3a2 ;
D. P = 2a2 .
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: C
Tam giác ABC vuông tại B: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Pytago)
⇔ AC2 = a2 + a2 = 2a2
⇒ A C = a 2 .
Vì ABCD là hình vuông có AC là đường chéo nên A C D ^ = 45 ° .
Ta có P = A C → . C D → + C A → = − C A → . C D → + C A → = − C A → . C D → − C A → 2
= − C A . C D . cos C A → , C D → − C A 2 = − a 2 . a . cos 45 ° − 2 a 2 = − 3 a 2 .
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 9. Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng A B → , D C → + A D → , C B → + C O → , D C → .
A. 45°;
B. 405°;
C. 315°;
D. 225°.
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: C
Ta có A B → , D C → cùng hướng nên A B → , D C → = 0 ° .
Ta có A D → , C B → ngược hướng nên A D → , C B → = 180 ° .
Vẽ C E → = D C → . Khi đó ta có C O → , D C → = C O → , C E → = O C E ^ .
Vì ABCD là hình vuông có OC là đường chéo nên O C B ^ = 45 ° .
Ta có BC ⊥ CD (ABCD là hình vuông)
Suy ra BC ⊥ CE, do đó B C E ^ = 90 ° .
Ta có O C E ^ = O C B ^ + B C E ^ = 45 ° + 90 ° = 135 ° .
Vậy A B → , D C → + A D → , C B → + C O → , D C → = 0 ° + 180 ° + 135 ° = 315 ° .
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 10. Cho tam giác đều ABC có cạnh a. Tính tích vô hướng A B → . A C → .
A. A B → . A C → = 2 a 2 ;
B. A B → . A C → = − a 2 3 2 ;
C. A B → . A C → = − a 2 2 ;
D. A B → . A C → = a 2 2 .
Hiển thị đáp án
Đáp án đúng là: D
Ta có A B → , A C → = B A C ^ = A ^ .
Tam giác ABC đều nên A ^ = 60 ° .
Do đó A B → , A C → = A ^ = 60 ° .
Suy ra A B → . A C → = A B . A C . cos A B → , A C → = a . a . cos 60 ° = a 2 2 .
Vậy ta chọn đáp án D.
Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai
Câu hỏi. Cho hình chữ nhật A B C D , A B = 4 a , A D = 3 a . Gọi M là trung điểm của A B , G là trọng tâm tam giác A C M .
a) C M → = 1 2 B A → − 3 B C → .
b) B G → = 3 2 B A → + 1 3 B C → .
c) B C → ⋅ B A → = 0 .
d) B G → ⋅ C M → = − a 2 .
Hiển thị đáp án
a) Sai. Ta có C M → = B M → − B C → = 1 2 B A → − B C → .
b) Sai. Vì G là trọng tâm của tam giác AA C M nên
3 B G → = B A → + B M → + B C → = B A → + 1 2 B A → + B C →
= 3 2 B A → + B C → ⇒ B G → = 1 2 B A → + 1 3 B C → .
c) Đúng. Vì A B C D là hình chữ nhật nên B A ⊥ B C , suy ra B C → ⋅ B A → = 0 .
d) Sai. Ta có
B G → ⋅ C M → = 1 2 B A → + 1 3 B C → ⋅ 1 2 B A → − B C →
= 1 4 B A → 2 − 1 3 B A → ⋅ B C → − 1 3 B C → 2
= 1 4 ⋅ 4 a 2 − 1 3 ⋅ 0 − 1 3 ⋅ 3 a 2 = a 2 . (B C = A D = 3 a ).
Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn
Câu 1. Cho hai vectơ a → và b → . Biết a → = 3 , b → = 2 và a → , b → = 120 ° . Tính a → − 2 b → (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Hiển thị đáp án
Ta có
a → ⋅ b → = a → ⋅ b → ⋅ cos a → , b → = 3 ⋅ 2 ⋅ cos 120 ° = − 3
a → − 2 b → 2 = a → − 2 b → 2 = a → 2 − 4 a → ⋅ b → + 4 b → 2
= a → 2 − 4 a → ⋅ b → + 4 b → 2 = 3 2 − 4 ⋅ − 3 + 4 ⋅ 2 2 = 37
⇒ a → − 2 b → = 37 ≈ 6 , 1 .
Đáp án: 6 ,1 .
Câu 2. Cho tam giác A B C vuông tại A có B ^ = 30 ° , A C = 2 . Gọi M là trung điểm của B C . Tính giá trị của biểu thức P = A M → ⋅ B M → .
Hiển thị đáp án
Ta có △ A B C vuông tại A có A B = A C tan B = 2 tan 30 ° = 2 3 .
Suy ra B C = A B 2 + A C 2 = 2 3 2 + 2 2 = 4.
P = A M → ⋅ B M → = 1 2 A B → + A C → ⋅ 1 2 B C → = 1 4 A B → ⋅ B C → + A C → ⋅ B C →
= 1 4 − A B ⋅ B C ⋅ cos B + A C ⋅ B C ⋅ cos C
= 1 4 − 2 3 ⋅ 4 ⋅ cos 30 ° + 2 ⋅ 4 ⋅ cos 60 ° = − 2.
Đáp án: − 2.
Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo có đáp án hay khác:
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:
Giải bài tập lớp 10 Chân trời sáng tạo khác