13 Bài tập Tích của một số với một vectơ (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 10

Đáp án đúng là: C

Gọi C là điểm đối xứng của O qua A$\Rightarrow OC=2a.$Tam giác OBC vuông tại O có $BC=\sqrt{O{B}^2+O{C}^2}=a\sqrt{5}.$

Ta có : $2\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BC},$ suy ra :

Đáp án đúng là: C

Dựa vào các đáp án, ta có nhận xét sau:

- Gọi C nằm trên tia đối của tia AO sao cho

$OC=3OA$$\Rightarrow 3\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}.$

Và D nằm trên tia đối của tia BO sao cho

$OD=4OB$$\Rightarrow 4\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OD}.$

Dựng hình chữ nhật OCED suy ra $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OE}$ (quy tắc hình bình hành).

Ta có:

Do đó, A đúng

- B đúng, vì

- D đúng, vì

Vậy chỉ còn đáp án C.

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm BC nên $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=2\overrightarrow{IM}.$

Mặt khác I là trung điểm AM nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{0}.$

Suy ra $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}+2\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IM}+2\overrightarrow{IA}=2\left(\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IA}\right)=\overrightarrow{0}.$

Đáp án đúng là: A

Vì M là trung điểm BC nên

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}.$ $\left(1\right)$

Mặt khác I là trung điểm AM nên

$2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AM}.$ $\left(2\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right)$ suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AI}\iff \overrightarrow{AI}=\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$

Đáp án đúng là: B

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow \overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}.$

Và M là trung điểm của BC

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}\iff \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$

Do đó $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$

Đáp án đúng là: C

Ta có : $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}.$

Suy ra $3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}+2\left(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}\right)$

$=\left(\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right)+\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BC}+\left(\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}\right).$

Theo bài ra, ta có: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{0}.$ Thật vậy:

$3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}\iff 3\overrightarrow{AM}=2\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}\right)$

$\iff 3\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AM}+2\overrightarrow{MB}$

$\iff \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$

$\iff 2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AM}=0$

$\iff 2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MA}=0$

$3\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DC}\iff 3\overrightarrow{DN}=2(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{NC})$

$\iff 3\overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{NC}$

$\iff \overrightarrow{DN}=2\overrightarrow{NC}$

$\iff \overrightarrow{DN}-2\overrightarrow{NC}=0$

$\iff \overrightarrow{DN}+2\overrightarrow{CN}=0$

Vậy $3\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{BC}\iff \overrightarrow{MN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}.$

Đáp án đúng là: D

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

- A đúng, vì $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DC}=\left(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}\right)+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{MN}.$

- B đúng, vì $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{BN}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}\right)-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MN}.$(vì M là trung điểm của AD nên $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MD}$)

- C đúng, vì $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN}.$

Suy ra $2\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MD}\right)+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CN}\right)=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right).$

Vậy chỉ còn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

Xét các đáp án ta thấy cần phân tích vectơ $\overrightarrow{DM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{DC}$ và $\overrightarrow{BC}.$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.$

Và M là trung điểm AB nên $2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}.$

$\iff 2\overrightarrow{DM}=-2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DC}$ suy ra $\overrightarrow{DM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{BC}.$

Đáp án đúng là: B

Vì N là trung điểm AC nên $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}.$

$\iff 2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}$

Do M là điểm thuộc cạnh AB và 3AM = AB nên $\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{AM}=-3\overrightarrow{MA}$

Do đó, $2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$

Suy ra $\overrightarrow{MN}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết ta có: $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{NC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

Ta có: $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$

a) Đúng. Do $M$ là trung điểm của $AB$ nên ta có $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

b) Đúng. Do $N$ là trung điểm của $CD$ nên ta có $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$.

c) Sai. Theo quy tắc cộng, ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$. (1)

d) Đúng. Ta lại có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$. (2)

Cộng hai đẳng thức (1), (2) vế theo vế, ta được

$2\overrightarrow{MN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)+\left(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN}\right)$.

Kết hợp với kết quả ở ý a) và b), ta suy ra được $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $B$ có: $\tan A=\frac{BC}{AB}\Rightarrow BC=AB\cdot \tan A$$=a\tan 30°=\frac{a\sqrt{3}}{3}$,

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có:

$=2AM=2\sqrt{A{B}^2+B{M}^2}$$=2\sqrt{a^2+{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{39}}{3}.$

Vậy $m=39k$.

Đáp án: 39.

Ta có $\overrightarrow{F_2}=-2{\overrightarrow{F}}_1$.

Để vật trở về trạng thái cân bằng thì hợp lực bằng $\overrightarrow{0}$.

$\iff {\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_2+{\overrightarrow{F}}_3+{\overrightarrow{F}}_4=\overrightarrow{0}$$\iff {\overrightarrow{F}}_1-2{\overrightarrow{F}}_1+{\overrightarrow{F}}_3+{\overrightarrow{F}}_4=\overrightarrow{0}$$\iff \overrightarrow{F_3}+{\overrightarrow{F}}_4={\overrightarrow{F}}_1$.

Đặt ${\overrightarrow{F}}_1=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{OB},{\overrightarrow{F}}_3=\overrightarrow{OC},\overrightarrow{F_4}=\overrightarrow{OD}$.

Ta có ${\overrightarrow{F}}_3+{\overrightarrow{F}}_4={\overrightarrow{F}}_1\iff \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}$. Do đó $OCAD$ là hình bình hành.

Mặt khác $OC=OD=20$ và $\widehat{COD}=45°+45°=90°$ nên $OCAD$ là hình vuông.

Khi đó .

Đáp án: 56,6.