Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025)

Trang trước Trang sau

Chuyên đề Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian có trong bộ 8 Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải giúp học sinh có thêm tài liệu ôn tập cho bài thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

Xem thử Đề thi Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Đề thi thử Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán

Chỉ từ 350k mua trọn bộ Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Vectơ trong không gian

1.1. Định nghĩa

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

1.2. Các khái niệm

Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian, ta cũng có các kí hiệu và các khái niệm sau:

– Với vectơ $\vec{A B}$ , ta có:

+ Điểm A là điểm đầu; điểm B là điểm cuối.

+ Hướng của vectơ $\vec{A B}$ : Từ A đến B .

+ Đường thẳng d đi qua hai điểm A và B gọi là giá của vectơ $\vec{A B}$ .

Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025)

+ Độ dài của vectơ $\vec{A B}$ , kí hiệu $|\vec{A B}|$ , là độ dài của đoạn thẳng AB.

– Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y}, ...$

– Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

– Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng có cùng hướng hoặc ngược hướng.

– Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$ , nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

2. Các phép toán vectơ trong không gian

2.1. Tổng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ .

Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ . Vectơ $\vec{A C}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{A C} = \vec{a} + \vec{b}$ .

Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025)

• Quy tắc cộng

Với ba điểm A, B, C bất kì, ta có .

• Quy tắc hình bình hành

Cho hình bình hành ABCD, ta có $\vec{A B} + \vec{B C} = \vec{A C}$ .

• Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.

Ta có $\vec{A B} + \vec{A D} + \vec{A A^{'}} = \vec{A C^{'}}$ .

Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025)

2.2. Hiệu của hai vectơ

Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ gọi là vectơ đối của vectơ $\vec{a}$ , kí hiệu là $- \vec{a}$ .

Vectơ $\vec{B A}$ là một vectơ đối của vectơ $\vec{A B}$ , được viết là $\vec{B A} = - \vec{A B}$ .

Vectơ $\vec{a} + (- \vec{b})$ được gọi là hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu $\vec{a} - \vec{b}$ .

• Quy tắc trừ

Với ba điểm O, A, B bất kì, ta có: $\vec{O A} - \vec{O B} = \vec{B A}$ .

2.3. Tích của một số với một vectơ

Trong không gian, cho số thực k ≠ 0 và vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ . Tích của một số k với vectơ $\vec{a}$ là một vectơ, kí hiệu là $k \vec{a}$ , được xác định như sau:

– Cùng hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k > 0, ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ nếu k < 0;

– Có độ dài bằng $|k| \cdot |\vec{a}|$ .

Nhận xét:

– Ta có $k \vec{a} = 0$ khi và chỉ khi k = 0 hoặc $\vec{a} = \vec{0}$ .

– Hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$ là cùng phương khi và chỉ khi có một số thực k ≠ 0 sao cho $\vec{a} = k \vec{b}$ .

– Điều kiện cần và đủ để ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là tồn tại số thực k ≠ 0 sao cho $\vec{A B} = k \vec{A C}$ .

Tính chất: Với hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ và hai số thực h, k, ta có:

$k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$ ;

$k (\vec{a} - \vec{b}) = k \vec{a} - k \vec{b}$ ;

$(h + k) \vec{a} = h \vec{a} + k \vec{a}$ ;

$h (k \vec{a}) = (h k) \vec{a}$ ;

$1 \vec{a} = \vec{a}$ ;

$(- 1) \vec{a} = - \vec{a}$ .

⮚ Chú ý:

• Quy tắc trung điểm

Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{I A} + \vec{I B} = \vec{0}$ .

Với mọi điểm M thì $\vec{M A} + \vec{M B} = 2 \vec{M I}$ .

• Quy tắc trọng tâm của tam giác

Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} = \vec{0}$ .

Với mọi điểm M thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 3 \vec{M G}$ .

• Quy tắc trọng tâm của tứ diện

Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD thì $\vec{G A} + \vec{G B} + \vec{G C} + \vec{G D} = \vec{0}$ .

Với mọi điểm M thì $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} + \vec{M D} = 4 \vec{M G}$ .

Mở rộng: Trong không gian, cho ba điểm A, B, C và bộ số $m, n, p (m + n + p \neq 0)$ .

– Tồn tại duy nhất điểm I sao cho $m \vec{I A} + n \vec{I B} + p \vec{I C} = \vec{0}$ .

– Với mọi điểm M thì $m \vec{M A} + n \vec{M B} + p \vec{M C} = (m + n + p) \vec{M I}$ .

2.4. Tích vô hướng của hai vectơ

a) Góc giữa hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A C} = \vec{b}$ . Khi đó, ta gọi $\hat{B A C}$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $(\vec{a}, \vec{b})$ .

b) Tích vô hướng của hai vectơ

Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ . Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ , kí hiệu là $\vec{a} \cdot \vec{b}$ , là một số thực được xác định bởi công thức: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (\vec{a}, \vec{b})$ , ở đó $(\vec{a}, \vec{b})$ là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ , $\vec{b}$ .

⮚ Chú ý:

– Quy ước nếu $\vec{a} = 0$ hoặc $\vec{b} = 0$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ .

– Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ , ta có $\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ .

– Với hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ đều khác $\vec{0}$ , ta có $\cos (\vec{a}, \vec{b}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ .

Tính chất: Với các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ và số thực k tùy ý, ta có:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ ;

$\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ ;

$(k \vec{a}) \cdot \vec{b} = k (\vec{a} \cdot \vec{b}) = \vec{a} \cdot (k \vec{b})$ ;

${\vec{a}}^{2} \geq 0$ , trong đó ${\vec{a}}^{2} = \vec{a} \cdot \vec{a}$ .Ngoài ra, ${\vec{a}}^{2} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} = 0$ .

3. Tọa độ của vectơ và biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

3.1. Hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau và các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt trên các trục Ox, Oy, Oz được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

– Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

– Các trụcc Ox, Oy, Oz được gọi là các trục tọa độ.

Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025)

– Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

– Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

3.2. Tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ trong không gian

– Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho một điểm M tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\vec{O M} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết M = (x; y; z) hoặc M(x; y; z) trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của M.

– Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ $\vec{a}$ tùy ý. Bộ ba số (x; y; z) duy nhất sao cho $\vec{a} = x \vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}$ được gọi là tọa độ của vectơ $\vec{a}$ đối với hệ tọa độ Oxyz. Khi đó, ta viết $\vec{a} = (x; y; z)$ hoặc $\vec{a} (x; y; z)$ trong đó x là hoành độ, y là tung độ và z là cao độ của $\vec{a}$ .

3.3. Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\vec{u} = (x_{1}; y_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ , ta có:

• $\vec{u} = \vec{v} \Leftrightarrow \{\begin{matrix} x_{1} = x_{2} \\ y_{1} = y_{2} \\ z_{1} = z_{2} \end{matrix}$ ;

• Tổng của hai vectơ: $\vec{u} + \vec{v} = (x_{1} + x_{2}; y_{1} + y_{2}; z_{1} + z_{2})$ ;

• Hiệu của hai vectơ: $\vec{u} - \vec{v} = (x_{1} - x_{2}; y_{1} - y_{2}; z_{1} - z_{2})$ ;

• Tích của một vectơ với một số: $k \vec{u} = (k x_{1}; k y_{1}; k z_{1}) (k \in ℝ)$ ;

• Tích vô hướng của hai vectơ: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos (\vec{u}, \vec{v}) = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}$ = hằng số;

• Độ dài vectơ: $|\vec{u}| = \sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}}; |\vec{v}| = \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}$ ;

• Góc giữa hai vectơ: $\cos (\vec{u}, \vec{v}) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$ = $\frac{x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + z_{1}^{2}} \cdot \sqrt{x_{2}^{2} + y_{2}^{2} + z_{2}^{2}}}$ (với $\vec{u}, \vec{v} \neq \vec{0}$ );

• Hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương với nhau ⇔ $\vec{u} = k \vec{v} (k \neq 0, \vec{v} \neq \vec{0})$ ⇔ $\{\begin{matrix} x_{1} = k x_{2} \\ y_{1} = k y_{2} \\ z_{1} = k z_{2} \end{matrix}$ => $\frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} = \frac{z_{1}}{z_{2}}$ ;

• Hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ vuông góc với nhau⇔ $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2} = 0$ .

3.4. Áp dụng của tọa độ vectơ

Trong không gian Oxyz, cho các điểm $A (x_{A}; y_{A}; z_{A}),$ $B (x_{B}; y_{B}; z_{B})$ , $C (x_{C}; y_{C}; z_{C})$ ta có:

• $\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ .

• Độ dài đoạn thẳng AB: AB = $|\vec{A B}| = \sqrt{{(x_{B} - x_{A})}^{2} + {(y_{B} - y_{A})}^{2} + {(z_{B} - z_{A})}^{2}}$ .

• Trung điểm của đoạn AB là $M (\frac{x_{A} + x_{B}}{2}; \frac{y_{A} + y_{B}}{2}; \frac{z_{A} + z_{B}}{2})$ .

• Nếu ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác có trọng tâm là G thì $\{\begin{matrix} x_{G} = \frac{x_{A} + x_{B} + x_{C}}{3} \\ y_{G} = \frac{y_{A} + y_{B} + y_{C}}{3} \\ z_{G} = \frac{z_{A} + z_{B} + z_{C}}{3} \end{matrix}$ .

• Nếu điểm M chia AB theo tỉ số k, nghĩa là $\vec{M A} = k \vec{M B}$ thì $\{\begin{cases} x_{M} = \frac{x_{A} - k x_{B}}{1 - k} \\ y_{M} = \frac{y_{A} - k y_{B}}{1 - k} \\ z_{M} = \frac{z_{A} - k z_{B}}{1 - k} \end{cases}$ .

• Nếu điểm M thỏa mãn điều kiện $a \cdot \vec{M A} + b \cdot \vec{M B} + c \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ thì $\{\begin{matrix} x_{M} = \frac{a x_{A} + b x_{B} + c x_{C}}{a + b + c} \\ y_{M} = \frac{a y_{A} + b y_{B} + c y_{C}}{a + b + c} \\ z_{M} = \frac{a z_{A} + b z_{B} + c z_{C}}{a + b + c} \end{matrix}$ .

Viết tắt $(M) = \frac{a (A) + b (B) + c (C)}{a + b + c} (a + b + c \neq 0)$ .

Tổng quát: Nếu M thỏa mãn điều kiện $a_{1} \cdot \vec{M M_{1}} + a_{2} \cdot \vec{M M_{2}} + a_{3} \cdot \vec{M M_{3}} + ... + a_{n} \cdot \vec{M M_{n}} = \vec{0}$ thì tọa độ M là $(M) = \frac{a_{1} (M_{1}) + a_{2} (M_{2}) + ... + a_{n} (M_{n})}{a_{1} + a_{2} + ... + a_{n}}$ $(a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \neq 0)$ .

• Nếu ABCD là hình bình hành thì $\vec{A B} = \vec{D C}$ ⇔ $\{\begin{cases} x_{B} - x_{A} = x_{C} - x_{D} \\ y_{B} - y_{A} = y_{C} - y_{D} \\ z_{B} - z_{A} = z_{C} - z_{D} \end{cases}$ .

• Điều kiện để 3 điểm A, B, C thẳng hàng là $\vec{A B} = k \cdot \vec{A C}$ ⇔ $\{\begin{matrix} x_{B} - x_{A} = k (x_{C} - x_{A}) \\ y_{B} - y_{A} = k (y_{C} - y_{A}) \\ z_{B} - z_{A} = k (z_{C} - z_{A}) \end{matrix}$ .

3.5. Tích có hướng của hai vectơ

a) Khái niệm tích có hướng của hai vectơ

Tích có hướng của $\vec{u} = (x_{1}; y {}_{1}; z_{1})$ và $\vec{v} = (x_{2}; y_{2}; z_{2})$ , kí hiệu $[\vec{u}, \vec{v}]$ là một vectơ và được tính như sau: $[\vec{u}, \vec{v}] = (\begin{matrix} y_{1} & z_{1} \\ y_{2} & z_{2} \end{matrix}; \begin{matrix} z_{1} & x_{1} \\ z_{2} & x_{2} \end{matrix}; \begin{matrix} x_{1} & y_{1} \\ x_{2} & y_{2} \end{matrix})$ = $(y_{1} z_{2} - y_{2} z_{1}; z_{1} x_{2} - z_{2} x_{1}; x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1})$ .

b) Tính chất tích có hướng của hai vectơ

• Vectơ tích có hướng vuông góc với hai vectơ thành phần: $[\vec{u}, \vec{v}] ⊥ \vec{u}, [\vec{u}, \vec{v}] ⊥ \vec{v}$ .

• Độ dài của vectơ tích có hướng: $|[\vec{u}, \vec{v}]| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \sin (\vec{u}, \vec{v})$ .

• Hai vectơ $\vec{u}, \vec{v}$ cùng phương ⇔ $[\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0}$ .

c) Ứng dụng tích có hướng của hai vectơ

• Ba vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ đồng phẳng khi và chỉ khi: $[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w} = 0$ .

• Ba vectơ $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ không đồng phẳng khi và chỉ khi: $[\vec{u}, \vec{v}] \cdot \vec{w} \neq 0$ .

• Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi: $[\vec{A B}, \vec{A C}] \cdot \vec{A D} = 0$ .

• Bốn điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện khi: $[\vec{A B}, \vec{A C}] \cdot \vec{A D} \neq 0$ .

• Diện tích hình bình hành $A B C D : S_{A B C D} = |[\vec{A B}, \vec{A D}]|$ .

• Diện tích tam giác $A B C : S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} |[\vec{A B}, \vec{A C}]|$ .

• Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D': $V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}} = |[\vec{A B}, \vec{A D}] \cdot \vec{A A^{'}}|$ .

• Thể tích tứ diện $A B C D : V_{A B C D} = \frac{1}{6} |[\vec{A B}, \vec{A C}] \cdot \vec{A D}|$ .

4. Phương trình mặt phẳng

4.1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc vớ (P).

Tính chất: Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) thì $k \vec{n} (k \neq 0)$ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025)

4.2. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P). Nếu hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng (P) thì $\vec{a}, \vec{b}$ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của (P).

Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025)

4.3. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng (P) nhận hai vectơ $\vec{a} = (a_{1}; a_{2}; a_{3}), \vec{b} = (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ làm cặp vectơ chỉ phương thì (P) nhận vectơ $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}] = (|\begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ b_{2} & b_{3} \end{matrix}|; |\begin{matrix} a_{3} & a_{1} \\ b_{3} & b_{1} \end{matrix}|; \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} \end{matrix})$ làm vectơ pháp tuyến.

Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025)

................................

Xem thử Đề thi Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Đề thi thử Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán

Xem thêm các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học