Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025)

Chuyên đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng có trong bộ 8 Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải giúp học sinh có thêm tài liệu ôn tập cho bài thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

Xem thử Đề thi Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Đề thi thử Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán

Chỉ từ 350k mua trọn bộ Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Nguyên hàm

1.1. Định nghĩa

a) Định nghĩa

Cho K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng của tập số thực ℝ.

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

b) Nhận xét

• Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khi đó:

– Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C là một nguyên hàm của f(x) trên K;

– Nếu G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x) = C với mọi x thuộc K.

Như vậy, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) = C, với C là một hằng số. Ta gọi $F\left(x\right)+C,C\in ℝ$ là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu $\int f\left(x\right)\text{d}x$ và viết: $\int f\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C$.

• Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Ta có $\int F^{\text{'}}\left(x\right)\text{d}x=F\left(x\right)+C$.

c) Chú ý

Biểu thức f(x)dx gọi là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), kí hiệu dF(x).

Vậy dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx.

1.2. Tính chất của nguyên hàm

Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên K.

• $\int kf\left(x\right)\text{d}x=k\int f\left(x\right)\text{d}x$ với k là hằng số khác 0;

• $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{d}x=\int f\left(x\right)\text{d}x+\int g\left(x\right)\text{d}x$;

• $\int \left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\text{d}x=\int f\left(x\right)\text{d}x-\int g\left(x\right)\text{d}x$.

1.3. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp thường gặp

2. Tích phân

2.1. Định nghĩa

a) Định nghĩa

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b] thì hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$. Do đó, $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$.

b) Chú ý

– Tích phân không phụ thuộc vào kí hiệu của biến: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(u\right)\text{\hspace{0.17em}d}u=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)\text{\hspace{0.17em}d}t=\mathrm{...}$

– Quy ước: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=0;\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

c) Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$ là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Vậy $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x$.

2.2. Tính chất của tích phân

Cho các hàm số f(x), g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$;

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$;

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x$ (với k là hằng số);

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{\hspace{0.17em}d}x\left(a<c<b\right)$.

2.3. Tích phân một số hàm số sơ cấp cơ bản

• Với a ≠ 1, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }\text{d}x={\left.\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$;

• Với hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}\text{d}x={\left.\ln \left|x\right|\right|}_a^b=\ln \left|b\right|-\ln \left|a\right|$;

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin x\text{d}x=-{\left.\cos x\right|}_a^b=\cos a-\cos b$;

• $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos x\text{d}x={\left.\sin x\right|}_a^b=\sin b-\sin a$;

• Với hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}\text{d}x=-{\left.\cot x\right|}_a^b=\cot a-\cot b$;

• Với hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}\text{d}x={\left.\tan x\right|}_a^b=\tan b-\tan a$;

• Với a > 0, a ≠ 1, ta có $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{a}^x\text{d}x={\left.\frac{a^x}{\ln a}\right|}_{\alpha }^{\beta }=\frac{a^{\beta }-a^{\alpha }}{\ln a}$.

→ Từ công thức trên, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{e}^x\text{d}x={\left.e^x\right|}_{\alpha }^{\beta }=e^{\beta }-e^{\alpha }$. 

3. Ứng dụng hình học của tích phân

3.1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của một hàm số, trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức:

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x$.

⮚ Chú ý: Nếu f(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|\text{d}x=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x\right|$.

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số và hai đường thẳng x = a, x = b

Cho hai hàm số y = f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f(x), y = g(x) và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bởi công thức: $S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|\text{d}x$.

⮚ Chú ý: Nếu hiệu f(x) - g(x) không đổi dấu trên đoạn [a; b] thì

$S=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|\text{d}x=\left|\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]\text{d}x\right|$.

3.2. Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

a) Tính thể tích vật thể

Cho một vật thể trong không gian Oxyz. Gọi (H) là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm có hoành độ x = a, x = b. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b) cắt vật thể theo mặt cắt có diện tích là S(x). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên [a; b].

Khi đó thể tích V của vật thể (H) được tính bởi công thức: $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)\text{d}x$.

b) Thể tích khối tròn xoay

Cho hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b]. Khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b xung quanh trục hoành, ta được một hình khối gọi là khối tròn xoay. Thể tích V của khối tròn xoay đó được tính bởi công thức: $V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2\left(x\right)\text{d}x$.

II. MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án.

Ví dụ 1. Hàm số $F\left(x\right)=e^{x^2}$ là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau?

A. $f\left(x\right)=2x{e}^{x^2}$.

B. $f\left(x\right)=x^2{e}^{x^2}-1$.

C. $f\left(x\right)=e^{2x}$.

D. $f\left(x\right)=\frac{e^{x^2}}{2x}$.

Lời giải

Ta có f(x) = F'(x) => $f\left(x\right)={\left(e^{x^2}\right)}^{\text{'}}=2x{e}^{x^2}$. Chọn A.

Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm $\int \frac{\cos 2x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}\text{d}x$.

A. F(x) = -cos x - sin x + C.

B. F(x) = cos x + sin x + C.

C. F(x) = cot x - tan x + C.

D. F(x) = -cot x - tan x + C.

Lời giải

Ta có: $\int \frac{\cos 2x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}\text{d}x$ = $\int \frac{{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x}\text{d}x$ = $\int \left(\frac{1}{{\sin }^{2}x}-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)\text{d}x$ = -cot x - tan x + C.

Chọn D.

Ví dụ 3. Gọi S là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2^x, y = 1, x = 0, x = 2. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|2^x-1\right|\text{d}x$.

B. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|1-2^x\right|\text{d}x$.

C. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(1-2^x\right)\text{d}x$.

D. $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(2^x-1\right)\text{d}x$.

Lời giải

Xét x ∈ [0; 2], ta có $2^x\ge 2^0\iff 2^x\ge 1$ nên $\left|2^x-1\right|=2^x-1$.

Diện tích hình phẳng cần tính là $S=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|2^x-1\right|\text{d}x=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|1-2^x\right|\text{d}x=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(2^x-1\right)\text{d}x$. Chọn C.

Ví dụ 4. Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = -1, x = 2 quanh trục hoành là:

A. $V=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}{\left(x+1\right)}^2\text{d}x$.

B. $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}{\left(x+1\right)}^2\text{d}x$.

C. $V=\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x+1\right|\text{d}x$.

D. $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|x+1\right|\text{d}x$.

Lời giải

Ta có $V=\pi \underset{-1}{\overset{2}{\int }}{\left(x+1\right)}^2\text{d}x$. Chọn B.

Ví dụ 5. Một chiếc xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với vận tốc 72 km/h thì tài xế bất ngờ đạp phanh làm cho chiếc ô tô chuyển động chậm với gia tốc $a\left(t\right)=-\frac{8}{5}t\left({\text{m/s}}^{\text{2}}\right)$, trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi kể từ khi đạp phanh đến khi ô tô dừng hẳn thì ô tô di chuyển bao nhiêu mét? (Giả sử trên đường ô tô di chuyển không có gì bất thường).

A. 50 m.

B. $\frac{250}{3}$ m.

C. $\frac{200}{3}$ m.

D. $\frac{100}{3}$ m.

Lời giải

Vận tốc của ô tô là $v\left(t\right)=\int a\left(t\right)\text{dt}$ = $\int \left(-\frac{8}{5}t\right)\text{dt}$ = $-\frac{4}{5}{t}^2+C$.

Ta có 72 km/h = 20 m/s. Vì v(0) = 20 nên C = 20 => $v\left(t\right)=-\frac{4}{5}{t}^2+20$.

Khi xe dừng hẳn thì vận tốc bằng 0 nên $-\frac{4}{5}{t}^2+20=0$ => t = 5.

Quãng đường cần tìm là $s=\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left(-\frac{4}{5}{t}^2+20\right)\text{\hspace{0.17em}dt}$ = ${\left.\left(-\frac{4}{15}{t}^3+20t\right)\right|}_0^5$ = $\frac{200}{3}$ (m). Chọn C.

................................

................................

................................

Xem thử Đề thi Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Đề thi thử Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán

Xem thêm các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Cấp số cộng và cấp số nhân (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Đạo hàm và khảo sát hàm số (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Hình học không gian (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Thống kê (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Xác suất (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)

---