Cấp số cộng và cấp số nhân (Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025)

Chuyên đề Cấp số cộng và cấp số nhân có trong bộ 8 Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải giúp học sinh có thêm tài liệu ôn tập cho bài thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

Xem thử Đề thi Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Đề thi thử Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán

Chỉ từ 350k mua trọn bộ Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Cấp số cộng

1.1. Định nghĩa

Dãy số (u_n) là cấp số cộng nếu u_n = u_n-1 + d với n ≥ 2, d là số không đổi.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng, ta có d = u_n - u_n-1 với n ≥ 2.

Nếu d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi. 

1.2. Số hạng tổng quát

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d, ta có: u_n = u₁ + (n - 1)d, với n ≥ 2.

1.3. Tính chất

a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì a + c = 2b.

1.4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d. Đặt $S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n$, ta có:

$S_n=\frac{\left(u_1+u_n\right)n}{2}=\frac{\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]n}{2}$.

2. Cấp số nhân

2.1. Định nghĩa

Dãy số (u_n) là cấp số nhân nếu u_n = u_n-1.q với n ≥ 2, q là số không đổi.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếuu_n ≠ 0 với mọi n ∈ ℕ* thì $q=\frac{u_n}{u_{n-1}}$ với n ≥ 2.

Nếu q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.

2.2. Số hạng tổng quát

Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ và công bội q, ta có: $u_n=u_1\cdot q^{n-1}$, với n ≥ 2.

2.3. Tính chất

a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì ac = b².

2.4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ và công bội q (q ≠ 1). Đặt $S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n$, ta có:

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

II. MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án.

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng tổng quát là u_n = 3n - 2. Tìm công sai d của cấp số cộng.

A. d = 3.

B. d = 2.

C. d = -2.

D. d = -3.

Lời giải

Ta có u_n+1 - u_n = 3(n + 1) - 2 - 3n + 2 = 3. Chọn A.

Ví dụ 2. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. $u_n=3n^2+2017$.

B. $u_n=3n+2018$.

C. $u_n=3^n$.

D. $u_n={\left(-3\right)}^{n+1}$.

Lời giải

Xét dãy số $u_n=3n+2018$, ta có u_n+1 - u_n = 3(n + 1) + 2018 - (3n + 2018) = 3 ⇔ u_n+1 = u_n + 3.

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai d = 3. Chọn B.

Ví dụ 3. Tổng 7 số hạng đầu của cấp số nhân (u_n) với u₁ = 3 và công bội $q=\frac{1}{2}$ bằng

A. $\frac{381}{64}$.

B. $\frac{189}{32}$.

C. $\frac{63}{32}$.

D. $\frac{889}{64}$.

Lời giải

Ta có: $S_7=\frac{3\cdot \left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^7\right]}{1-\frac{1}{2}}=\frac{381}{64}$. Chọn A.

Ví dụ 4. Cho cấp số nhân (u_n) có u₂ = 2, u₅ = 16. Công bội của cấp số nhân đó là

A. 4.

B. 2.

C. ±2.

D. $\frac{1}{2}$.

Lời giải

Áp dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: $u_n=u_1\cdot q^{n-1}$.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u}_2=2\\ u_5=16\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1\cdot q=2\\ u_1\cdot q^4=16\end{array}\right.$ => q³ = 8 => q = 2. Chọn B.

Dạng II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Ví dụ 5. Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu $u_1=\frac{3}{2}$, công sai $d=\frac{1}{2}$.

a) Công thức cho số hạng tổng quát $u_n=1+\frac{n}{3}$.

b) 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.

c) $\frac{15}{4}$một số hạng của cấp số cộng đã cho.

d) Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng (u_n) bằng 2620.

Lời giải

Số hạng tổng quát $u_n=u_1+\left(n-1\right)d$ = $\frac{3}{2}+\left(n-1\right)\cdot \frac{1}{2}=1+\frac{n}{2}$ với mọi n ≥ 2.

Xét $5=1+\frac{n}{2}\Rightarrow n=8\in {\mathbb{N}}^{*}$; suy ra 5 là số hạng thứ 8 của cấp số cộng đã cho.

Xét $\frac{15}{4}=1+\frac{n}{2}\Rightarrow n=\frac{11}{2}\notin {\mathbb{N}}^{*}$; suy ra $\frac{15}{4}$ không là một số hạng của cấp số cộng đã cho.

Tổng 100 số hạng đầu của cấp số cộng là: $S_{100}=\frac{100\left[2\cdot \frac{3}{2}+\left(100-1\right)\cdot \frac{1}{2}\right]}{2}=2625$.

Đáp án: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q < 0 và u₂ = 4, u₄ = 9.

a) Số hạng đầu $u_1=-\frac{8}{3}$.

b) Số hạng $u_5=\frac{27}{2}$.

c) $-\frac{2187}{32}$là số hạng thứ 8.

d) Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là $\frac{55}{6}$.

Lời giải

Ta có: u₂ = u₁q = 4, u₄ = u₁q³ = 9 => $\frac{u_4}{u_2}=\frac{u_1{q}^3}{u_{1}q}$ => $\frac{9}{4}=q^2$ => $q=-\frac{3}{2}\left(q<0\right)$.

Thay $q=-\frac{3}{2}$ vào u₂, ta được: $u_1\left(-\frac{3}{2}\right)=4\Rightarrow u_1=-\frac{8}{3}$.

Vậy cấp số nhân đã cho có số hạng đầu $u_1=-\frac{8}{3}$ và công bội $q=-\frac{3}{2}$.

Khi đó số hạng tổng quát $u_n=-\frac{8}{3}\cdot {\left(-\frac{3}{2}\right)}^{n-1}$. Do đó, $u_5=-\frac{27}{2}$.

$-\frac{2187}{32}\ne -\frac{8}{3}\cdot {\left(-\frac{3}{2}\right)}^7$ nên $-\frac{2187}{32}$ không phải là số hạng thứ 8.

Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là $S_5=\frac{-\frac{8}{3}\cdot \left[1-{\left(-\frac{3}{2}\right)}^5\right]}{1-\left(-\frac{3}{2}\right)}=-\frac{55}{6}$.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

Dạng III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Ví dụ 7. Trong một khán phòng có tất cả 30 dãy ghế, dãy đầu tiên có 15 ghế, các dãy liền sau nhiều hơn dãy trước đó 4 ghế, hỏi khán phòng đó có tất cả bao nhiêu ghế?

Lời giải

Gọi $u_1,u_2,\dots ,u_{30}$ lần lượt là số ghế của dãy ghế thứ nhất, dãy ghế thứ hai, ..., dãy ghế thứ 30.

Khi đó, (u_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ = 15, công sai d = 4(trong đó 1 ≤ n ≤ 30).

Gọi S₃₀ là tổng số ghế trong khán phòng.

Ta có: $S_{30}=u_1+u_2+\dots +u_{30}$ = $\frac{30}{2}\left[2u_1+\left(30-1\right)d\right]$ = 15(2.15 + 29/4) = 2190.

Đáp án: 2190.

Ví dụ 8. Chu kì bán rã của Iôt phóng xạ ${}_{53}{}^{131}\text{I}$ dùng trong y tế là 8 ngày (nghĩa là sau 8 ngày khối lượng của nguyên tố đó chỉ còn một nửa). Khối lượng còn lại của 200 gam Iôt phóng xạ ${}_{53}{}^{131}\text{I}$ sau 80 ngày là bao nhiêu gam (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn).

Lời giải

Kí hiệu u_n (gam) là khối lượng còn lại của 200 gam Iôt phóng xạ ${}_{53}{}^{131}\text{I}$ sau n chu kì bán rã.

Ta có 80 ngày gồm $\frac{80}{8}=10$ chu kì bán rã.

Như thế, khối lượng còn lại của 200 gam Iôt phóng xạ ${}_{53}{}^{131}\text{I}$ sau 80 ngày (10 chu kì) là u₁₀.

Vì cứ sau một chu kì thì khối lượng của Iôt phóng xạ ${}_{53}{}^{131}\text{I}$ chỉ còn một nửa nên ta suy ra dãy số (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{200}{2}=100$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.

Do đó $u_{10}=100\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^9\approx \mathrm{0,195}$ (gam).

Đáp án: 0,195.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án.

Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng?

A. 1; -2; -4; -6; -8.

B. 1; -3; -6; -9; -12.

C. 1; -3; -7; -11; -15.

D. 1; -3; -5; -7; -9.

Câu 2. Cho cấp số cộng (u_n) với u₁ = 2 và u₂ = 8. Công sai của cấp số cộng đã cho bằng

A. 10.

B. 6.

C. 4.

D. -6.

Câu 3. Cho cấp số cộng (u_n), biết: u₁ = 3, u₂ = 1. Chọn đáp án đúng.

A. u₃ = 4.

B. u₃ = 7.

C. u₃ = 2.

D. u₃ = -5.

Câu 4. Số hạng đầu u₁ và công sai d của cấp số cộng (u_n) có u₉ = 5u₂ và u₁₃ = 2u₆ + 5 là

A. u₁ = 3 và d = 4.

B. u₁ = 3 và d = 5.

C. u₁ = 4 và d = 5.

D. u₁ = 4 và d = 3.

Câu 5. Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và công sai d = 7. Kể từ số hạng nào trở đi thì các số hạng của (u_n) đều lớn hơn 2018?

A. 287.

B. 289.

C. 288.

D. 286.

Câu 6. Cho cấp số cộng (u_n) có u₁ = 1 và công sai d = 2. Tổng $S_{10}=u_1+u_2+u_3\mathrm{.....}+u_{10}$ bằng

A. S₁₀ = 110.

B. S₁₀ = 100.

C. S₁₀ = 21.

D. S₁₀ = 19.

Câu 7. Gọi S_n là tổng n số hạng đầu tiên trong cấp số cộng (a_n). Biết S₆ = S₉ tỉ số $\frac{a_3}{a_5}$ bằng:

A. $\frac{9}{5}$.

B. $\frac{5}{9}$.

C. $\frac{5}{3}$.

D. $\frac{3}{5}$.

Câu 8. Viết ba số xen giữa 2 và 22 để ta được một cấp số cộng có 5 số hạng?

A. 6, 12, 18.

B. 8, 13, 18.

C. 7, 12, 17.

D. 6, 10, 14.

Câu 9. Cho dãy số (u_n) là một cấp số cộng có u₁ = 3 và công sai d = 4. Biết tổng n số hạng đầu của dãy số (u_n) là S_n = 253. Tìm n.

A. 9.

B. 11.

C. 12.

D. 10.

Câu 10. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là:

A. $\frac{1}{3};1;\frac{5}{3}$.

B. $\frac{1}{4};1;\frac{7}{4}$.

C. $\frac{3}{4};1;\frac{5}{4}$.

D. $\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}$.

Câu 11. Dãy số $\frac{1}{3},\frac{-1}{6},\frac{1}{12},\frac{-1}{24},\frac{1}{48}$ là một cấp số nhân với công bội q là:

A. $\frac{-1}{2}$.

B. -2.

C. $\frac{1}{4}$.

D. $\frac{1}{2}$.

Câu 12. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = -6 và q = -2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng 2046. Tìm n.

A. n = 9.

B. n = 10.

C. n = 11.

D. n = 12.

Câu 13. Cho cấp số nhân (u_n) với u₁ = 2, u₄ = 16 và u_n = 2048. Tính tổng n số hạng của cấp số nhân này.

A. S_n = 2046.

B. S_n = 4049.

C. S_n = 4043.

D. S_n = 4096.

Câu 14. Cho cấp số nhân (u_n) có $u_4=\frac{1}{32}$ và $u_5=\frac{1}{128}$. Khi đó, số hạng đầu u₁ và công bội q lần lượt là:

A. u₁ = 3, q = -5.

B. $u_1=-\mathrm{2,}q=\frac{-1}{4}$.

C. $u_1=-\mathrm{2,}q=\frac{1}{2}$.

D. $u_1=\mathrm{2,}q=\frac{1}{4}$.

Câu 15. Tổng 10 số hạng đầu cấp số nhân (u_n) với $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội q = 3 là:

A. 14762.

B. $\frac{9841}{2}$.

C. $\frac{3069}{512}$.

D. 1640.

Câu 16. Cho cấp số nhân (u_n) có u₂ = 2, u₆ = 32. Công bội của cấp số nhân đó là:

A. 2.

B. ±2.

C. -2.

D. $\pm \frac{1}{2}$.

Câu 17. Cho cấp số nhân (u_n) có u₄ = -108 và u₅ = -324. Khi đó, số hạng đầu u₁ và công bội q lần lượt là

A. u₁ = 3, q = -5.

B. u₁ = -3, q = 5.

C. u₁ = 4, q = -3.

D. u₁ = -4, q = 3.

Câu 18. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = 5 và $u_2=\frac{5}{2}$. Tổng 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân trên là

A. $\frac{123}{23}$.

B. $\frac{342}{67}$.

C. $\frac{1275}{128}$.

D. $\frac{654}{231}$.

Câu 19. Cho cấp số nhân (u_n) có u₁ = -3 và q = 2. Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân đã cho bằng -1533. Tìm n.

A. n = 9.

B. n = 10.

C. n = 11.

D. n = 12.

Câu 20. Một cơ sở khoan giếng có đơn giá như sau: giá của mét khoan đầu tiên là 50 000 đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét khoan sau tăng thêm 2,5% so với giá của mét khoan ngay trước đó. Số tiền mà chủ nhà phải trả cho cơ sở khoan giếng để khoan được 45m giếng gần nhất số nào sau đây (đơn vị: đồng)?

A. 3927617.

B. 4075807.

C. 4227702.

D. 4384395.

................................

................................

................................

Xem thử Đề thi Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Đề thi thử Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán

Xem thêm các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Đạo hàm và khảo sát hàm số (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Hình học không gian (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Thống kê (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Xác suất (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)

---