Đạo hàm và khảo sát hàm số (Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025)

Chuyên đề Đạo hàm và khảo sát hàm số có trong bộ 8 Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải giúp học sinh có thêm tài liệu ôn tập cho bài thi tốt nghiệp THPT môn Toán.

Xem thử Đề thi Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Đề thi thử Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán

Chỉ từ 350k mua trọn bộ Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Đạo hàm

1.1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x₀ thuộc khoảng đó. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀ và được kí hiệu là f'(x₀) hoặc ${y^{\text{'}}}_{x_0}$.

1.2. Ý nghĩa Vật lí của đạo hàm

Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm Vật lí. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t), với s = s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số s = s(t) tại t₀: v(t₀) = s'(t₀).

1.3. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

• Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$.

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là

y = $f^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right)$.

1.4. Đạo hàm của hàm hợp

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm tại x là ${u^{\text{'}}}_x$ và hàm số y = f(u) có đạo hàm tại u là ${y^{\text{'}}}_u$ thì hàm hợp y = f(g(x)) có đạo hàm tại x là ${y^{\text{'}}}_x={y^{\text{'}}}_u\cdot {u^{\text{'}}}_x$.

1.5. Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp

1.6. Quy tắc tính đạo hàm

Cho u = u(x), v = v(x) là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định và C là hằng số.

Ta có:

2. Tính đơn điệu của hàm số

2.1. Định lí

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $K\subset ℝ$, trong đó K là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng.

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge \mathrm{0,}\forall x\in K$ và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K.

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\le \mathrm{0,}\forall x\in K$ và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K.

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)=\mathrm{0,}\forall x\in K$ thì hàm số y = f(x) không đổi trên K.

2.2. Các bước để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y = f(x).

Bước 2. Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i(i = 1,2,...,n) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của f(x) hoặc bảng xét dấu của f'(x).

Bước 4. Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

⮚ Chú ý: Ta cũng có thể nhận biết tính đơn điệu của hàm số bằng cách quan sát hình dáng của đồ thị đi lên (hàm số đồng biến) hoặc đi xuống (hàm số nghịch biến).

3. Cực trị của hàm số

3.1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập $K\subset ℝ$, trong đó K là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng và $x_0\in K$.

• Điểm x₀ gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) sao cho

$x_0\in \left(a;b\right)\subset K$ và $f\left(x_0\right)>f\left(x\right),\forall x\in \left(a;b\right)\backslash \left\{x_0\right\}$.

Khi đó f(x₀) gọi là giá trị cực đại (hay cực đại) của hàm số y = f(x).

• Điểm x₀ gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) sao cho

$x_0\in \left(a;b\right)\subset K$ và $f\left(x_0\right)<f\left(x\right),\forall x\in \left(a;b\right)\backslash \left\{x_0\right\}$.

Khi đó f(x₀) gọi là giá trị cực tiểu (hay cực tiểu) của hàm số y = f(x).

Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số được gọi chung là điểm cực trị của hàm số đó; giá trị cực đại (cực đại) và giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số đó.

Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì điểm $M\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x).

3.2. Định lí

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (b; x₀) . Khi đó:

• Nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và $f^{\text{'}}\left(x\right)>0\forall x\in \left(x_0;b\right)$ thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀.

• Nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x₀) và $f^{\text{'}}\left(x\right)<0\forall x\in \left(x_0;b\right)$ thì hàm y = f(x) số đạt cực đại tại điểm x₀.

3.3. Các bước tìm điểm cực trị của hàm số f(x)

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f(x).

Bước 2. Tính đạo hàm f;(x). Tìm các điểm x_i(i = 1,2,...,n) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số f(x) hoặc bảng xét dấu f'(x).

Bước 4. Kết luận về các điểm cực trị của hàm số.

4. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

4.1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập hợp D.

• Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = M. Kí hiệu $M=\underset{D}{\max }f\left(x\right)$.

• Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu f(x) ≥ m với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D sao cho f(x₀) = m. Kí hiệu $m=\underset{D}{\min }f\left(x\right)$.

4.2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng đạo hàm

• Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, ta thường vẽ bảng biến thiên của hàm số. Từ bảng biến thiên, ta có thể chỉ ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn

Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm trên khoảng (a; b), có thể trừ một số hữu hạn điểm. Nếu f'(x) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a; b) thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] như sau:

Bước 1. Tìm các điểm x₁,x₂,...,x_n thuộc khoảng (a; b) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 2. Tính $f\left(a\right),f\left(x_1\right),f\left(x_2\right),.\mathrm{..},f\left(x_n\right),f\left(b\right)$.

Bước 3. So sánh các giá trị tìm được ở Bước 2. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m.

Khi đó: $\left\{\begin{array}{l}M=\underset{\left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)\\ m=\underset{\left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)\end{array}\right.$.

⮚ Chú ý:

• Nếu y = f(x) đồng biến trên [a; b] thì $\underset{\left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(a\right)$ và $\underset{\left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

• Nếu y = f(x) nghịch biến trên [a; b] thì $\underset{\left[a;b\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(b\right)$ và $\underset{\left[a;b\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(a\right)$.

• Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó.

5. Đường tiệm cận

5.1. Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng y = y₀ được gọi là đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=y_0$.

5.2. Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;         $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$;

$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$;         $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$.

5.3. Đường tiệm cận xiên

Đường thẳng $y=ax+b\left(a\ne 0\right)$ được gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)\right]=0$.

⮚ Chú ý: Có thể tìm hệ số a, b trong phương trình của đường tiệm cận xiên y = ã + b theo công thức sau: $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x},b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$ hoặc $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x},b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$.

6. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị một số hàm số thường gặp

6.1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

Khảo sát hàm số bậc ba y = f(x) = $a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a\ne 0\right)$

a) Tập xác định: D = ℝ.

b) Đạo hàm: $y^{\text{'}}=3a{x}^2+2bx+c$.

Trường hợp 1. ∆y' > 0 thì phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁; x₂.

Khi đó, hàm số có hai điểm cực trị x₁; x₂. và $\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=\frac{-2b}{3a}\\ x_1{x}_2=\frac{c}{3a}\end{array}\right.\end{array}$ (định lý Viet).

Trường hợp 2. ∆y' ≤ 0 thì phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số không có cực trị. Khi đó, hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên ℝ.

c) Bảng biến thiên và đồ thị

Trường hợp 1. ∆y' > 0

Trường hợp 2. ∆y' ≤ 0

⮚ Chú ý: Đồ thị hàm số bậc ba y = f(x) = $a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a\ne 0\right)$ có tâm đối xứng là điểm $I\left(-\frac{b}{3a};f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$. Hoành độ $-\frac{b}{3a}$ của tâm đối xứng đó là nghiệm của phương trình ${y^{\text{'}}}^{\text{'}}=0$.

................................

................................

................................

Xem thử Đề thi Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Đề thi thử Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán

Xem thêm các chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• Chuyên đề: Phương trình và bất phương trình (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Cấp số cộng và cấp số nhân (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Hình học không gian (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Thống kê (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)
• Chuyên đề: Xác suất (Ôn thi Tốt nghiệp 2025)

---