Tính chất cơ bản của hàm số liên tục lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Tính chất cơ bản của hàm số liên tục lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính chất cơ bản của hàm số liên tục.

1. Tính chất cơ bản của hàm số liên tục

Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x)g(x) liên tục tại x₀.

b) Hàm số $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a)f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c $\in$ (a; b) sao cho f(c) = 0.

2. Ví dụ về tính chất cơ bản của hàm số liên tục

Ví dụ 1. Cho hàm số: $f\left(x\right)=x^4+4x^2-\frac{5}{x+5}$ .

a) Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x = 4.

b) Xét tính liên tục của hàm số f(x) trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là $ℝ$ \{–5}.

a) Ta có: $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4}{\lim }\left(x^4+4x^2-\frac{5}{x+5}\right)$

$=\underset{x\to 4}{\lim }{x}^4+\underset{x\to 4}{\lim }\left(4x^2\right)-\underset{x\to 4}{\lim }\frac{5}{x+5}$

$=4^4+{4.4}^2-\frac{5}{4+5}=\frac{2875}{9}=f\left(4\right)$

Do đó, hàm số f(x) liên tục tại x = 4.

b) Hàm số g(x) = x⁴ + 4x² là hàm đa thức nên liên tục trên . Do đó, hàm số g(x) liên tục trên mỗi khoảng (–$\infty$; –5) và (–5; + $\infty$).

Hàm số $h\left(x\right)=\frac{5}{x+5}$ là hàm phân thức hữu tỉ liên tục trên mỗi khoảng xác định (–$\infty$; –5) và (–5; + $\infty$). Do đó, hàm số f(x) = g(x) – h(x) liên tục trên mỗi khoảng (–$\infty$; –5) và (–5; + $\infty$).

Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm số $f\left(x\right)=\frac{\cos x}{x+3}$ .

Hướng dẫn giải

Hàm số f(x) xác định trên các khoảng (–$\infty$; –3) và (–3; + $\infty$). Trên các khoảng này, tử thức (hàm số lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f(x) liên tục trên (–$\infty$; –3) và (–3; + $\infty$).

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình 2x⁵ – 3x³ – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số f(x) = 2x⁵ – 3x³ – 1. Ta có: f(0) = –1; f(2) = 39 nên f(0).f(2) < 0.

Lại có: f(x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên [0; 2].

Do đó, phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 2).

3. Bài tập về tính chất cơ bản của hàm số liên tục

Bài 1. Cho hai hàm số f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 3. Biết f(3) = 4 và $\underset{x\to 3}{\lim }\left[3f\left(x\right)-2g\left(x\right)\right]=5$ . Tính g(3).

Bài 2. Xét tính liên tục của các hàm số:

a) y = sinx – 2cosx.

b) y = $\frac{\tan x}{x^2+1}$ .

c) y = x + 2 – x² + $\frac{1}{\sqrt{2x-5}}$ .

Bài 3. Cho hàm số f(x) = sinx, g(x) = $\sqrt{x^2+1}$ , h(x) $=\frac{1}{x-1}$ .

Xét tính liên tục của các hàm số: f(x) + g(x); f(x).g(x) + h(x),$\frac{g\left(x\right)}{f\left(x\right)}$ – h(x).

Bài 4. Chứng minh rằng phương trình x⁴ – 3x³ + 3x – 1 = 0 có ít nhất hai nghiệm.

Bài 5. Chứng tỏ rằng phương trình 3x⁵ – a(x⁴ – 1) + 1 = 0 luôn có nghiệm với mọi số thực a.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Quy tắc tính giới hạn vô cực

• Lũy thừa với số mũ nguyên là gì

• Căn bậc n là gì

• Tính chất của căn bậc n

• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là gì

• Lũy thừa với số mũ thực là gì

---