Quy tắc tính giới hạn vô cực lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Quy tắc tính giới hạn vô cực lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Quy tắc tính giới hạn vô cực.

1. Quy tắc tính giới hạn vô cực

Quy tắc tính giới hạn của tích f(x)g(x)

Giả sử $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L\ne 0$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ (hoặc –$\infty$). Khi đó, được tính theo quy tắc cho bởi bảng sau:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$	$\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)$	$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)g\left(x\right)$
L > 0	+$\infty$	+$\infty$
	–$\infty$	–$\infty$
L < 0	+$\infty$	–$\infty$
	–$\infty$	+$\infty$

Quy tắc tính giới hạn của thương $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ :

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$	$\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)$	Dấu của g(x)	$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$
L	$\pm \infty$	Tùy ý	0
L > 0	0	+	+$\infty$
		–	–$\infty$
L < 0	0	+	–$\infty$
		–	+$\infty$

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp $x\to x_0^{+};x\to x_0^{-}$

2. Ví dụ về quy tắc tính giới hạn vô cực

Ví dụ 1. Tìm giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^4+2\right)$ .

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^5+6\right)$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^4+2\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^4\left(1+\frac{2}{x^4}\right)$ .

Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^4=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(1+\frac{2}{x^4}\right)=1>0$ nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^4+2\right)=+\infty$ .

b) Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^5+6\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^5\left(1+\frac{6}{x^5}\right)$ .

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^5=-\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1+\frac{6}{x^5}\right)=1>0$ nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^5+6\right)=-\infty$ .

Ví dụ 2. Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1-4x}{x-3}$ .

b) $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x+5}{4x-16}$ .

Hướng dẫn giải

a) Vì $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(1-4x\right)=1-4.3=-11<0$ ;$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{x-3}=+\infty$ nên $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1-4x}{x-3}=-\infty$ .

b) Ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\left(x+5\right)=4+5=9>0$ ;$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{1}{4x-16}=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{1}{4\left(x-4\right)}=-\infty$ .

Do đó, $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{x+5}{4x-16}=-\infty$ .

Ví dụ 3. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2-4x+5}$ .

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x^2-5x-7}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2-4x+5}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}$ .

Vì $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left|x\right|=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x\right)=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{1-\frac{4}{x}+\frac{5}{x^2}}=1>0$  nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt{x^2-4x+5}=+\infty$.

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x^2-5x-7}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left|x\right|\sqrt{1-\frac{5}{x}-\frac{7}{x^2}}$.

Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left|x\right|=\underset{x\to +\infty }{\lim }x=+\infty ;\sqrt{1-\frac{5}{x}-\frac{7}{x^2}}=1$  nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x^2-5x-7}=+\infty$.

3. Bài tập về quy tắc tính giới hạn vô cực

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a)$\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{1+x}{2x-10}$ .

b) $\underset{x\to {\frac{3}{2}}^{-}}{\lim }\frac{x+6}{2x-3}$ .

c) $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x^2+5x+6}{3-x}$ .

Bài 2. Tính giới hạn: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2-x\right)\left(4-x^2\right)\left(8-x^3\right)$ .

Bài 3. Cho số thực a sao cho $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\left(a-2x\right)\left(a{x}^3+3\right)\right]=-\infty$ . Xác định dấu của a.

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^6+x+5}{x^2+2x}$ .

b) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{3x^2+x-7}$ .

c)$\underset{x\to -\infty }{\lim }\sqrt[4]{4x^4+6x^3-1}$

Bài 5. Biết rằng $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-1$. Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[\left(2x^4-2\right)f\left(x\right)\right]$ .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Giới hạn vô cực là gì

• Tính chất cơ bản của hàm số liên tục

• Lũy thừa với số mũ nguyên là gì

• Căn bậc n là gì

• Tính chất của căn bậc n

• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là gì

---