Tính chất của căn bậc n lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Tính chất của căn bậc n lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính chất của căn bậc n.

1. Tính chất của căn bậc n

Giả sử n, k là các số nguyên dương, m là số nguyên. Khi đó:

$\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab};\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}};{\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m};\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}}=\sqrt[nk]{a}$

(Giả thiết các biểu thức ở trên đều có nghĩa).

2. Ví dụ về tính chất của căn bậc n

Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[5]{16}.\sqrt[5]{2}$ .

b) $\sqrt[3]{54}:\sqrt[3]{-2}$

c) ${\left(\sqrt[3]{-7\sqrt{7}}\right)}^2$ .

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[5]{16}.\sqrt[5]{2}=\sqrt[5]{2^4.2}=\sqrt[5]{2^5}=2$ .

b) $\sqrt[3]{54}:\sqrt[3]{-2}=\sqrt[3]{54:\left(-2\right)}=\sqrt[3]{-27}=\sqrt[3]{{\left(-3\right)}^3}=-3$ .

c) ${\left(\sqrt[3]{-7\sqrt{7}}\right)}^2={\left(\sqrt[3]{{\left(-\sqrt{7}\right)}^3}\right)}^2={\left(-\sqrt{7}\right)}^2=7$ .

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a)$\sqrt[3]{64x^{12}{y}^9}$ .

b) $\sqrt[5]{\frac{1}{64}{x}^4}\cdot \sqrt[5]{2x^6}$ .

c) $2x{y}^2-\sqrt{81x^2{y}^4}-\sqrt[5]{\frac{1}{32}{x}^5{y}^{10}}$ (x > 0).

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt[3]{64x^{12}{y}^9}=\sqrt[3]{{\left(4x^4{y}^3\right)}^3}=4x^4{y}^3$ .

b) $\sqrt[5]{\frac{1}{64}{x}^4}\cdot \sqrt[5]{2x^6}=\sqrt[5]{\frac{1}{64}{x}^4\cdot 2x^6}=\sqrt[5]{\frac{1}{32}{x}^{10}}=\sqrt[5]{{\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)}^5}=\frac{1}{2}{x}^2$ .

c) $2x{y}^2-\sqrt{81x^2{y}^4}-\sqrt[5]{\frac{1}{32}{x}^5{y}^{10}}$

$=2x{y}^2-\sqrt{{\left(9x{y}^2\right)}^2}-\sqrt[5]{{\left(\frac{1}{2}x{y}^2\right)}^5}$

= 2xy² – 9xy² – $\frac{1}{2}$ xy² =$\frac{-15}{2}$ xy²

Ví dụ 3. Điền dấu vào … để được đáp án đúng:

a) $\sqrt[3]{x^6{y}^3{z}^9}$ = $x\sqrt{\mathrm{...}}$ (với x, y, z > 0).

b)$\frac{\sqrt[5]{x^6{y}^9{z}^{10}}}{\sqrt[5]{x{y}^4{z}^5}}={\left(\sqrt[3]{xyz}\right)}^{\mathrm{...}}$ (với x, y, z ≠ 0).

Hướng dẫn giải

a) Ta có:$\sqrt[3]{x^6{y}^3{z}^9}=\sqrt[3]{{\left(x^{2}y{z}^3\right)}^3}=x^{2}y{z}^3=x\sqrt{x^2{y}^2{z}^6}$ .

b) $\frac{\sqrt[5]{x^6{y}^9{z}^{10}}}{\sqrt[5]{x{y}^4{z}^5}}=\sqrt[5]{\frac{x^6{y}^9{z}^{10}}{x{y}^4{z}^5}}=\sqrt[5]{x^5{y}^5{z}^5}=\sqrt[5]{{\left(xyz\right)}^5}=xyz={\left(\sqrt[3]{xyz}\right)}^3$ .

3. Bài tập về tính chất của căn bậc n

Bài 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[5]{160}-7\sqrt[5]{5}$ .

b) $\sqrt[3]{\sqrt[4]{64}}+6\sqrt[4]{4}$ .

c) $\sqrt[3]{6}.\left(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{11}\right)-6\sqrt{\sqrt[3]{144}}+\frac{\sqrt[3]{198}}{\sqrt[3]{3}}$ .

Bài 2. Chứng minh rằng:

a) $\sqrt{7+2\sqrt{6}}-\sqrt{7-2\sqrt{6}}=2$ .

b) $\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}=2$

Bài 3. Cho a, b là các số dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{{\left(\sqrt[6]{a^2{b}^3}\right)}^6}{\sqrt{\sqrt[3]{a^{18}{b}^{12}}}}$

b) $\sqrt{a^2\sqrt{a^3\sqrt{a}}}.$

c) $\frac{5\sqrt[3]{4a^{11}}\sqrt[3]{2b^7}}{{\left(\sqrt[3]{a^2.b}\right)}^4}$ .

Bài 4. So sánh a và b, biết rằng:

a) $a=\sqrt{\frac{1}{4}}.\sqrt[4]{16}$và $b=\frac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{5}}$ .

b) $a=\sqrt{\sqrt[5]{1024}}$ và $b={\left(\frac{\sqrt[5]{972}}{\sqrt[5]{4}}\right)}^2$ .

Bài 5. Tìm x, biết rằng:

a) $\sqrt[4]{4x+5}=2$ .

b) $\sqrt[3]{x^3-6x^2+12x-8}=5$ .

c) $\sqrt[6]{2x-7}>\frac{1}{2}$ .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Căn bậc n là gì

• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là gì

• Lũy thừa với số mũ thực là gì

• Tính lũy thừa với số mũ thực bằng MTCT

• Quy tắc tính logarit

• Logarit thập phân là gì

---