Lũy thừa với số mũ thực là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Lũy thừa với số mũ thực là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu khái niệm lũy thừa với số mũ thực.

1. Khái niệm lũy thừa với số mũ thực

Cho a là số thực dương và α là một số vô tỉ. Xét dãy số hữu tỉ (r_n) mà $\underset{n\to +\infty }{\lim }{r}_n=\alpha$ . Khi đó dãy số $\left(a^{r_n}\right)$ có giới hạn xác định và không phụ thuộc vào dãy số hữu tỉ (r_n) đã chọn. Giới hạn đó gọi là lũy thừa của a với số mũ α, kí hiệu là a^α.

^{$a^{\alpha }=\underset{n\to +\infty }{\lim }{a}^{r_n}$}

Chú ý: Lũy thừa với số mũ thực (của một số thực dương) có đầy đủ các tính chất như lũy thừa với số mũ nguyên.

Với a, b là những số thực dương; α,$\beta$ là những số thực bất kì. Khi đó:

a^α.$a^{\beta }$= $a^{\alpha +\beta }$; $\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}$ = $a^{\alpha -\beta }$; ${\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }$ = $a^{\alpha \beta }$; (ab)^α = a^α.b^α; ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}$ .

Chú ý:

+ Nếu a > 1 thì a^α > $a^{\beta }$ khi và chỉ khi α >$\beta$.

+ Nếu 0 < a < 1 thì a^α > $a^{\beta }$ khi và chỉ khi α <$\beta$.

2. Ví dụ về khái niệm lũy thừa với số mũ thực

Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) ${\left(2^{\sqrt{6}}\right)}^{\sqrt{24}}$ .

b) $3^{\sqrt{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\sqrt{3}-1}$ .

c) $4^{-2\sqrt{5}}:4^{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}$ .

Hướng dẫn giải

a) ${\left(2^{\sqrt{6}}\right)}^{\sqrt{24}}=2^{\sqrt{6}.\sqrt{24}}=2^{\sqrt{{\left(6.2\right)}^2}}=2^{12}$ .

b) $3^{\sqrt{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{\sqrt{3}-1}=3^{\sqrt{3}}{.3}^{-\left(\sqrt{3}-1\right)}=3^1=3$ .

c) $4^{-2\sqrt{5}}:4^{{\left(\sqrt{5}-1\right)}^2}=4^{-2\sqrt{5}-\left(6-2\sqrt{5}\right)}=4^{-6}$

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A=\frac{a^{\sqrt{7}+1}.a^{-\sqrt{7}+5}}{{\left(a^{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}$ (a > 0).

b) $B=\frac{{\left(a^{\sqrt{11}-2}\right)}^{\sqrt{11}+2}}{\frac{a^{\sqrt{6}-1}}{a^{\sqrt{6}-2}}}$ (a > 0).

Hướng dẫn giải

a) $A=\frac{a^{\sqrt{7}+1}.a^{-\sqrt{7}+5}}{{\left(a^{\sqrt{5}-\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{5}+\sqrt{2}}}=\frac{a^{\sqrt{7}+1-\sqrt{7}+5}}{a^{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}}=\frac{a^6}{a^3}=a^3$ .

b) $B=\frac{{\left(a^{\sqrt{11}-2}\right)}^{\sqrt{11}+2}}{\frac{a^{\sqrt{6}-1}}{a^{\sqrt{6}-2}}}=\frac{a^{\left(\sqrt{11}-2\right)\left(\sqrt{11}+2\right)}}{a^{\sqrt{6}-1-\sqrt{6}+2}}=\frac{a^7}{a}=a^6$ .

Ví dụ 3. So sánh:

a) $4^{\sqrt{8}}$ và 4⁴.

b) ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{3\sqrt{5}}$ và ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{4\sqrt{3}}$ .

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $4=\sqrt{16}$ . Vì $\sqrt{8}<\sqrt{16}$ nên $\sqrt{8}<4$ . Mà 4 > 1 nên $4^{\sqrt{8}}$ < 4⁴.

b) Ta có: $3\sqrt{5}=\sqrt{45};4\sqrt{3}=\sqrt{48}$. Vì $\sqrt{45}<\sqrt{48}$ , nên $3\sqrt{5}<4\sqrt{3}$ .

Mà 0 < $\frac{1}{6}$ < 1 nên ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{3\sqrt{5}}$ > ${\left(\frac{1}{6}\right)}^{4\sqrt{3}}$ .

3. Bài tập về khái niệm lũy thừa với số mũ thực

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $2^{\sqrt{3}+1}:2^{\sqrt{3}-1}+{\left(2^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{2}}$ .

b) $4^{3+\sqrt{2}}{.4}^{-1+\sqrt{2}}{.16}^{1-\sqrt{2}}$ .

c) $\left(9^{3+\sqrt{3}}-9^{\sqrt{3}-1}\right){.3}^{-2\sqrt{3}}$ .

Bài 2. Tìm các số thực a thỏa mãn:

a) $a^{2\sqrt{5}}$> $a^{\sqrt{18}}$ .

b) $a^{\frac{1}{2\sqrt{2}}}$ > $a^{\frac{1}{\sqrt{12}}}$ .

Bài 3. Viết các biểu thức sau về lũy thừa cơ số a, biết:

a) $A=\sqrt[6]{7.\sqrt[4]{\frac{1}{7}}}$ với a = 7.

b) $B=\frac{9\sqrt[4]{3}}{\sqrt{27}}$ với .

Bài 4. Không sử dụng máy tính, hãy so sánh:

a) ${16}^{\sqrt{3}}$ và $8^{2\sqrt{3}}$ .

b) ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-2\sqrt{5}}$ và ${25}^{\sqrt{3}}$ .

Bài 5. Cho a, b là các số dương. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $a^{\sqrt{7}}\cdot {\left(\frac{1}{a}\right)}^{\sqrt{7}-1}\cdot {\left(a^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{2\sqrt{3}}$ (a > 0).

b) $\frac{{\left(a^{\sqrt{3}}b\right)}^{\sqrt{3}}\left(16b^{-\sqrt{3}}\right)}{{\left(a^{\sqrt{2}}{b}^{\sqrt{8}}\right)}^{\sqrt{2}}}$ (a, b > 0).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Lũy thừa với số mũ hữu tỉ là gì

• Tính lũy thừa với số mũ thực bằng MTCT

• Quy tắc tính logarit

• Logarit thập phân là gì

• Số e và logarit tự nhiên là gì

• Tính logarit bằng MTCT

---