Số e và logarit tự nhiên là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Số e và logarit tự nhiên là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Số e và logarit tự nhiên.

1. Số e và logarit tự nhiên

Lôgarit cơ số e của một số dương M gọi là lôgarit tự nhiên của M, kí hiệu là ln M (đọc là lôgarit Nêpe của M).

2. Ví dụ về số e và logarit tự nhiên

Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) lne⁵ + log10 000.

b) ln120 – ln30 + ln2.

c) $\frac{\ln 40-\ln 2}{\ln 60-\ln 3}$ .

Hướng dẫn giải

a) lne⁵ + log10 000 = 5 + log10⁵ = 5 + 5 = 10.

b) $ln120–ln30+ln2=\text{l}n\frac{120.2}{30}=ln8$ .

c) $\frac{\ln 40-\ln 2}{\ln 60-\ln 3}=\frac{\ln \frac{40}{2}}{\ln \frac{60}{3}}=\frac{\ln 20}{\ln 20}=1$ .

Ví dụ 2. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn $\frac{a^2{b}^3}{c}=e$ . Tính giá trị của biểu thức $M=2lna+3lnb–4ln\sqrt[4]{c}$ .

Hướng dẫn giải

$M=2lna+3lnb–4ln=ln{a}^2+\text{l}n{b}^3–lnc=ln\frac{a^2{b}^3}{c}=lne=1$.

Ví dụ 3. Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ số dùng để đo lượng cồn trong máu của một người. Chẳng hạn, BAC 0,02% hay 0,2 mg/ml, nghĩa là có 0,02 g cồn trong 100 ml máu. Nếu một người với BAC bằng 0,02% có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp 1,4 lần so với người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với BAC 0,02% là 1,4. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái xe ô tô có thể được mô hình hóa bằng công thức có dạng: R = e^kx, trong đó x(%) là nồng độ cồn trong máu và k là một hằng số. Hỏi nguy cơ tương đối là bao nhiêu nếu nồng độ cồn trong máu là 0,18%?

Hướng dẫn giải

Thay R = 1,4 và x = 0,02% vào R = e^kx ta có: $1,4=e^{k.\frac{0,02}{100}}$ , do đó $k=5000ln\frac{7}{5}$ .

Do đó, $R=e^{5000x\ln \frac{7}{5}}$ .

Thay x = 0,018% vào $R=e^{5000x\ln \frac{7}{5}}$ ta có: $R=e^{5000.0,018\%\ln \left(\frac{7}{5}\right)}=e^{0,9\ln \left(\frac{7}{5}\right)}$ .

3. Bài tập về số e và logarit tự nhiên

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{3}ln{e}^{\sqrt{3}}+log\sqrt[3]{10}$ .

b) $\ln \sqrt{e\sqrt{e^3}}+{\log }_{2}192-{\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{3}$ .

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:

a) ln(4a²) – 2lna.

b) – ln (x – 1) – ln (x² + x + 1).

c) $\ln \left(x+\sqrt{x^2+2e}\right)+\ln \left(x-\sqrt{x^2-2e}\right)$ .

(Giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Bài 3. Đặt ln x = a, ln y = b, ln z = c (x, y, z > 0). Biểu diễn các biểu thức sau theo a, b, c:

a) $\ln \left(\sqrt{x}y\sqrt[4]{z^3}\right)$ .

b) ln $\frac{x^2\sqrt[3]{y^2}}{e^2{z}^{\frac{2}{3}}}$.

Bài 4. Không sử dụng máy tính, hãy so sánh:

a) e^ln6 và 100^log0,01.

b) ln2e và 0,5ln(e²).

Bài 5. Cho lnx = 3. Tính giá trị của biểu thức $Q=\frac{\ln \left(2x\right)+\ln \frac{x}{2}}{-{\log }_{\sqrt{e}}x}$ .

(Giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Logarit thập phân là gì

• Tính logarit bằng MTCT

• Hàm số mũ là gì

• Đồ thị và tính chất của hàm số mũ

• Hàm số logarit là gì

• Đồ thị và tính chất hàm logarit

---