Giới hạn vô cực là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Giới hạn vô cực là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu khái niệm giới hạn vô cực.

1. Khái niệm giới hạn vô cực

+ Giả sử khoảng (a; b) chứa x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b)\{x₀}. Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn +$\infty$ khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n$\in$(a; b)\{x₀}, x_n → x₀, ta có f(x_n) → +$\infty$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ .

+ Ta nói hàm số f(x) có giới hạn –$\infty$ khi x → x₀, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }\left[-f\left(x\right)\right]=+\infty$

+ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn +$\infty$ khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn x₀ < x_n < b, x_n → x₀, ta có f(x_n) → +$\infty$, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ .

+ Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀). Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn +$\infty$ khi x → x₀ về bên trái nếu dãy số (x_n) bất kì thỏa mãn a < x_n < x₀, x_n → x₀, ta có f(x_n) → +$\infty$, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ .

+ Các giới hạn $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ ; $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ ; $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ ; $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ được định nghĩa tương tự.

Một số giới hạn đặc biệt:

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{1}{x-a}=+\infty ;\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{1}{x-a}=-\infty \left(a\in ℝ\right)$ .

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k nguyên dương.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k là số chẵn.

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=-\infty$ với k là số lẻ.

2. Ví dụ về khái niệm giới hạn vô cực

Ví dụ 1. Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{\left|x-2\right|}=+\infty$.

Hướng dẫn giải

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{\left|x-2\right|}$ . Lấy dãy số (x_n) bất kì sao cho x_n ≠ 2 và x_n → 2.

Khi đó, $\left|x_n-2\right|\to 0$. Do đó,$f\left(x_n\right)=\frac{1}{\left|x_n-2\right|}\to +\infty$ . Vậy $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{1}{\left|x-2\right|}=+\infty$

Ví dụ 2. Quan sát đồ thị dưới đây và cho biết các giới hạn sau $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ .

Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ ; $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ .

Ví dụ 3. Sử dụng các giới hạn đặc biệt, tính:

a) $\underset{x\to {12}^{+}}{\lim }\frac{1}{x-12}$ .

b) $\underset{x\to -4^{-}}{\lim }\frac{1}{4+x}$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{x\to {12}^{+}}{\lim }\frac{1}{x-12}=+\infty$ .

b) $\underset{x\to -4^{-}}{\lim }\frac{1}{4+x}=-\infty$ .

3. Bài tập về khái niệm giới hạn vô cực

Bài 1. Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng $\underset{x\to 16}{\lim }\frac{1}{\left|x-16\right|}=+\infty$ .

Bài 2. Tính giới hạn: $\underset{x\to {10}^{-}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{10-x}};\underset{x\to 5^{+}}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x-5}}$ .

Bài 3. Quan sát đồ thị dưới đây và cho biết các giới hạn $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ .

Bài 4. Sử dụng các giới hạn đặc biệt, tính:

a) $\underset{x\to {21}^{+}}{\lim }\frac{1}{2x-42}$ .

b) $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1}{2x+4}$ .

Bài 5. Sử dụng các giới hạn đặc biệt, tính:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^6$ .

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^7$ .

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^8$ .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Giới hạn một bên là gì

• Quy tắc tính giới hạn vô cực

• Tính chất cơ bản của hàm số liên tục

• Lũy thừa với số mũ nguyên là gì

• Căn bậc n là gì

• Tính chất của căn bậc n

---