Các công thức nhân đôi lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Các công thức nhân đôi lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu công thức nhân đôi.

1. Công thức nhân đôi

• sin2a = 2sina.cosa.

• cos2a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a = cos²a – sin²a.

• tan2a $=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$ (khi các biểu thức đều có nghĩa).

Nhận xét: cos²a $=\frac{1+\cos 2a}{2}$; sin²a $=\frac{1-\cos 2a}{2}$ (gọi là công thức hạ bậc).

2. Ví dụ minh họa về công thức nhân đôi

Ví dụ 1. Cho sinx – cosx $=\frac{1}{4}$. Tính sin2x và cos4x.

Hướng dẫn giải

Ta có: (sinx – cosx)² = sin²x – 2sinxcosx + cos²x = 1 – sin2x $=\frac{1}{4}$.

Do đó, sin2x $=\frac{3}{4}$.

Ta có: cos4x = 1 – 2sin²2x = 1 – 2.${\left(\frac{3}{4}\right)}^2$$=\frac{-1}{8}$.

Ví dụ 2. Cho cos a = $\frac{2}{5}$. Tính cos²$\frac{a}{2}$ và sin^{2$\frac{a}{2}$}.

Hướng dẫn giải

Ta có: cos²$\frac{a}{2}$ $=\frac{1+\cos a}{2}=\frac{1+\frac{2}{5}}{2}=\frac{7}{10}$sin²$\frac{a}{2}$$=\frac{1-\cos a}{2}=\frac{1-\frac{2}{5}}{2}=\frac{3}{10}$.

Ví dụ 3. Tính các giá trị lượng giác của góc a, biết cos2a = $\frac{-24}{25}$và 0 < a < $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Hướng dẫn giải

Vì 0 < a < $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ nên sin a, cos a > 0.

Ta có: cos²a $=\frac{1+\cos 2a}{2}=\frac{1}{50}$ nên cosa = $\frac{\sqrt{2}}{10}$;

sin²a $=\frac{1-\cos 2a}{2}=\frac{49}{50}$ nên sina = $\frac{7\sqrt{2}}{10}$.

Do đó, tan a$=\frac{\sin a}{\cos a}=7;$ cot a $=\frac{1}{\tan a}=\frac{1}{7}$.

3. Bài tập về công thức nhân đôi

Bài 1. Cho cos 2a = –0,4 và 0^o < a < 90^o. Tính sina, cosa, tana.

Bài 2. Cho cos a = $\frac{4}{5}$ và 0 < a < $\mathrm{\pi }$. Tính tan2a.

Bài 3. Cho tan$\frac{b}{2}=\frac{3}{2}$. Tính sin b, cos b, tan b.

Bài 4. Biết rằng cos150^o $=\frac{-\sqrt{3}}{2}$. Tính cos75^o, sin75^o và tan75^o.

Bài 5. Cho sin2x $=\frac{1}{4}$. Tính giá trị của biểu thức (sin x + cos x)².

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Các công thức cộng lượng giác

• Các công thức biến đổi tích thành tổng

• Các công thức biến đổi tổng thành tích

• Hàm số lượng giác là gì

• Đồ thị và tính chất hàm sin

• Đồ thị và tính chất hàm cos

---