Các công thức biến đổi tích thành tổng lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Các công thức biến đổi tích thành tổng lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu công thức biến đổi tích thành tổng.

1. Công thức biến đổi tích thành tổng

• cos a.cos b = $\frac{1}{2}$[cos (a + b) + cos (a – b)]

• sin a.sin b = $\frac{1}{2}$[cos (a + b) – cos (a – b)]

• sin a.cos b = $\frac{1}{2}$[sin (a + b) + sin (a – b)]

2. Ví dụ minh họa về công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ 1. Cho sin2a $=\frac{1}{4}$. Tính A = $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$.

Hướng dẫn giải

A = $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$

$=\frac{1}{2}\left[\sin \left(x+\frac{\pi }{3}+x-\frac{\pi }{3}\right)+\sin \left(x+\frac{\pi }{3}-x+\frac{\pi }{3}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left(\sin 2x+\sin \frac{2\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Ví dụ 2. Cho cos a = $\frac{1}{3}$. Tính B = sin$\frac{a}{2}$sin$\frac{3a}{2}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: cos2a = 2cos²a – 1 =$\frac{-7}{9}$

B = sin$\frac{a}{2}$sin$\frac{3a}{2}$

$=\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{a}{2}+\frac{3a}{2}\right)-\cos \left(\frac{a}{2}-\frac{3a}{2}\right)\right]$

$=\frac{1}{2}\left(cos2a–cosa\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{-7}{9}-\frac{1}{3}\right)=\frac{-5}{9}$

Vậy B =$\frac{-5}{9}$.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức ${\cos }^{2}a-\cos \left(\frac{\pi }{6}-a\right)\cos \left(\frac{\pi }{6}+a\right)$ không phụ thuộc vào giá trị của biến.

Hướng dẫn giải

${\cos }^{2}a-\cos \left(\frac{\pi }{6}-a\right)\cos \left(\frac{\pi }{6}+a\right)$

$={\cos }^{2}a-\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{\pi }{6}-a+\frac{\pi }{6}+a\right)+\cos \left(\frac{\pi }{6}-a-\frac{\pi }{6}-a\right)\right]$

$={\cos }^{2}a-\frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi }{3}+\cos 2a\right)$

$={\cos }^{2}a-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}\left(2{\cos }^{2}a-1\right)=\frac{1}{2}$

Vậy giá trị biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến.

3. Bài tập về công thức biến đổi tích thành tổng

Bài 1. Tính:

a) sin15^o.sin75^o.

b) sin105^o.cos15^o.

Bài 2.

a) Cho cosx =$\frac{2}{3}$ và cosy$\frac{-1}{3}$. Tính giá trị của biểu thức: cos (x + y). cos (x – y).

b) Cho sin a =$\frac{3}{4}$ và góc lượng giác a thuộc góc phần tư thứ II, tính giá trị của biểu thức $2\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(a-\frac{\pi }{4}\right)$.

Bài 3. Chứng minh rằng:

a) 2cos (a + 3b) cos (a – 3b) = cos2a + sin 6b.

b) sin2x + sin 4x – sin6x = 4sinx.sin2x.sin 3x.

Bài 4. Cho cos2a = $\frac{3}{5}$ và $a\in \left[\frac{3\pi }{2};2\pi \right]$.

Tính giá trị biểu thức P = sin a.cos 3a + sin²a.

Bài 5. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) $A=\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right)-\sin x\cos x$.

b) $B=\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)\sin \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Các công thức nhân đôi

• Các công thức biến đổi tổng thành tích

• Hàm số lượng giác là gì

• Đồ thị và tính chất hàm sin

• Đồ thị và tính chất hàm cos

• Đồ thị và tính chất hàm tan

---