Các công thức biến đổi tổng thành tích lớp 11 (chi tiết nhất)

Trang trước Trang sau

Bài viết Các công thức biến đổi tổng thành tích lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu công thức biến đổi tổng thành tích.

1. Công thức biến đổi tổng thành tích

• cos u + cos v = 2cos $\frac{u + v}{2}$ cos $\frac{u - v}{2}$

• cos u – cos v = –2sin $\frac{u + v}{2}$ sin $\frac{u - v}{2}$

• sin u + sin v = 2 sin $\frac{u + v}{2}$ cos $\frac{u - v}{2}$

• sin u – sin v = 2 cos $\frac{u + v}{2}$ sin $\frac{u - v}{2}$

2. Ví dụ minh họa về công thức biến đổi tổng thành tích

Ví dụ 1. Viết các biểu thức sau dưới dạng tích:

a) A = $\cos (x + \frac{π}{3}) + \cos (x - \frac{π}{3})$ .

b) B = sina + sin3a.

c) C = sina – cos2a.

Hướng dẫn giải

a) A = $\cos (x + \frac{π}{3}) + \cos (x - \frac{π}{3})$

$= 2 \cos \frac{x + \frac{π}{3} + x - \frac{π}{3}}{2} \cos \frac{x + \frac{π}{3} - x + \frac{π}{3}}{2}$

$= 2 \cos x . \cos \frac{π}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} \cos x = \cos x$

b) B = sina + sin3a

= 2sin $\frac{a + 3 a}{2}$ cos $\frac{a - 3 a}{2}$

= 2sin2a.cosa

= 4sina.cos²a.

c) C = sina – cos2a = sina – $\sin (\frac{π}{2} - 2 a)$

= 2cos $\frac{a + \frac{π}{2} - 2 a}{2}$ .sin $\frac{a - \frac{π}{2} + 2 a}{2}$

= 2cos $\frac{- 2 a + π}{4}$ sin $\frac{6 a - π}{4}$

Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức:

a) A = cos(–15^o) + cos285^o.

b) B = $\frac{\sin 20^{o} + \sin 40^{o}}{\cos 20^{o} + \cos 40^{o}}$ .

Hướng dẫn giải

a) A = cos (–15^o) + cos285^o

= 2cos $\frac{285^{o} - 15^{o}}{2}$ cos $\frac{- 285^{o} - 15^{o}}{2}$

= 2cos135^o.cos(–150^o)

= $2 \cdot \frac{- \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{- \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ .

b) B = $\frac{\sin 20^{o} + \sin 40^{o}}{\cos 20^{o} + \cos 40^{o}}$

$= \frac{2 \sin \frac{20^{o} + 40^{o}}{2} \cos \frac{20^{o} - 40^{o}}{2}}{2 \cos \frac{20^{o} + 40^{o}}{2} \cos \frac{20^{o} - 40^{o}}{2}}$

$= \frac{2 \sin 30^{o} \cos 10^{o}}{2 \cos 30^{o} \cos 10^{o}}$

=tan $30^{o}$ = $= \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ví dụ 3. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ꞷt + φ), trong đó t là thời điểm tính bằng giây, x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [– $π$ ; $π$ ] là pha ban đầu của dao động. Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

x₁(t) = 2 cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{2})$ (cm) và x₂(t) = 2 cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})$ (cm).

Tìm dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.

Hướng dẫn giải

x(t) = x₁(t) + x₂(t)

= 2 cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{2})$ + 2 cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{6})$

$= 2 (\cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{3} t + \frac{π}{6}))$

= 4cos $\frac{\frac{π}{3} t + \frac{π}{2} + \frac{π}{3} t + \frac{π}{6}}{2}$ cos $\frac{\frac{π}{3} t + \frac{π}{2} - \frac{π}{3} t - \frac{π}{6}}{2}$

= 4cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{3})$ cos $\frac{π}{6}$

= 2 $\sqrt{3}$ cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{3})$

Vậy dao động tổng hợp x(t) = 2 $\sqrt{3}$ cos $(\frac{π}{3} t + \frac{π}{3})$ , với biên độ A = 2 $\sqrt{3}$ (cm) và pha ban đầu là φ = $\frac{π}{3}$ .

3. Bài tập về công thức biến đổi tổng thành tích

Bài 1. Tính giá trị biểu thức:

a) A = sin75^o – cos75^o.

b) B = cos75^o + sin285^o.

c) $C = \frac{\sin 20^{o} + \sin 100^{o}}{\cos 20^{o} + \cos 100^{o}}$ .

Bài 2. Nối số ở cột A với chữ ở cột B để được đáp án đúng:

Cột A	Cột B
1. sin $(x - \frac{π}{4})$ + sin $(x + \frac{π}{4})$	a. 2sin3x.cosx
2. cos $(\frac{π}{2} - 2 x)$ + sin4x	b. 2cos3x.cosx
3. cos4x + cos2x	c. $\sqrt{2}$ sinx

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{\sin 12 x + \sin 14 x + \sin 16 x}{\cos 12 x + \cos 14 x + \cos 16 x}$ .

b) B = $\frac{2 \sin (π - a - b)}{\cos (a + b) + \cos (a - b)} - \frac{1}{\cot b}$ .

Bài 4. Chứng minh rằng giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) A = sin3x + cos $(\frac{π}{2} - 2 x)$ – 4sinxcos²x.

b) B = $\frac{\sin 2 x + \sin 4 x + \cos x}{2 \sin 3 x + 1} - \sin (\frac{π}{2} - x)$ .

Bài 5. Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ꞷt + φ), trong đó t là thời điểm tính bằng giây, x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [– $π$ ; $π$ ] là pha ban đầu của dao động.

Xét hai dao động điều hòa có phương trình: x₁(t) = 3cos $(\frac{π}{6} t + \frac{2 π}{3})$ (cm), x₂(t) và dao động tổng hợp x(t) = x₁(t) + x₂(t) = 3cos $(\frac{π}{6} t + \frac{π}{3})$ (cm).

Tìm phương trình dao động điều hòa của x₂(t). Chỉ ra biên độ dao động và pha ban đầu của x₂(t).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học