Các công thức cộng lượng giác lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Các công thức cộng lượng giác lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu công thức cộng lượng giác.

1. Công thức cộng lượng giác

• sin(a + b) = sin a.cos b + cos a.sin b;

• sin(a – b) = sin a.cos b – cos a.sin b.

• cos(a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b;

• cos(a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b.

• $\tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b};$

• $\tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$.

(khi các biểu thức đều có nghĩa).

2. Ví dụ minh họa về công thức cộng lượng giác

Ví dụ 1. Cho hai góc a và b với tan a = $\frac{1}{6}$ và tan b = $\frac{2}{3}$.

Tính tan (a + b) và tan (a – b).

Hướng dẫn giải

$\tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a.\tan b}=\frac{\frac{1}{6}+\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{3}}=\frac{15}{16}$;

tan (a – b) $=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a.\tan b}$$=\frac{\frac{1}{6}-\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{6}\cdot \frac{2}{3}}=\frac{-9}{20}$.

Ví dụ 2. Cho tan (a + b) = 4, tan (a – b) = 3. Tính tan2a.

Hướng dẫn giải

tan 2a = tan [(a + b) + (a – b)] $=\frac{\tan \left(a+b\right)+\tan \left(a-b\right)}{1-\tan \left(a+b\right).\tan \left(a-b\right)}=\frac{4+3}{1-4.3}=\frac{-7}{11}$.

Ví dụ 3. Cho cosx = $\frac{1}{5}$; 0 < x < $\frac{\pi }{2}$. Tính $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right);\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$.

Hướng dẫn giải

Vì 0 < x < $\frac{\pi }{2}$ nên sin x > 0. Ta có: sinx = $\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$. Do đó:

$\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\cos x\cos \frac{\pi }{4}-\sin x\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{5}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{-4\sqrt{3}+\sqrt{2}}{10}$

$\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}-\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}=\frac{-1+6\sqrt{2}}{10}$

3. Bài tập về công thức cộng lượng giác

Bài 1. Nối số ở cột A với chữ ở cột B để được đáp án đúng:

Bài 2. Cho sinx = $\frac{24}{25}$ với $\frac{\pi }{2}<x<\pi$. Tính $\cos \left(x-\frac{\pi }{4}\right);\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right);\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.

Bài 3. Cho sinα = $\frac{7}{25}$, cosβ = $\frac{8}{17}$ và 0^o < α, β < 90^o.

Tính giá trị của biểu thức sin(α – β) và cos(α + β).

Bài 4. Cho tan (a + b) = 8, tan (a – b) = 5. Tính tan2a và tan2b.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại B, có AB = 12 cm, BC = 9 cm. Lấy điểm D trên tia đối của tia CB sao cho $\widehat{CAD}={30}^o$. Tính tan$\widehat{BAD}$ và độ dài cạnh CD.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Các công thức lượng giác cơ bản

• Các công thức nhân đôi

• Các công thức biến đổi tích thành tổng

• Các công thức biến đổi tổng thành tích

• Hàm số lượng giác là gì

• Đồ thị và tính chất hàm sin

---