Các công thức lượng giác cơ bản lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Các công thức lượng giác cơ bản lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu công thức lượng giác cơ bản.

1. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hệ thức cơ bản sau:

• sin²α + cos² α = 1;

• $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\left(\alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$;

• $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\left(\alpha \ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$;

• tanα. cotα = 1 $\left(\alpha \ne \frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right)$.

2. Ví dụ minh họa về công thức lượng giác cơ bản

Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết rằng:

sin α = $\frac{5}{13}$ và 0^o < α < 90^o.

Hướng dẫn giải

Vì 0^o < α < 90^o nên cos α > 0.

Ta có: sin²α + cos² α = 1 nên $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$.

Do đó, tan α $=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}}=\frac{5}{12};\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{12}{5}$.

Ví dụ 2. Cho tanα + cotα = 3. Tính giá trị biểu thức tan²α + cot²α.

Hướng dẫn giải

tan²α + cot²α

= tan²α + 2tanα.cotα + cot²α – 2tanα.cotα

= (tanα + cotα)² – 2

= 3² – 2 = 7.

Vậy tan²α + cot²α = 7.

Ví dụ 3. Rút gọn biểu thức: $\frac{{\sin }^3\alpha -{\cos }^3\alpha }{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }-\frac{1}{\sin \alpha +\cos \alpha }$.

Hướng dẫn giải

$\frac{{\sin }^3\alpha -{\cos }^3\alpha }{{\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha }-\frac{1}{\sin \alpha +\cos \alpha }$

$=\frac{\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)\left({\sin }^2\alpha +\sin \alpha \cos \alpha +{\cos }^2\alpha \right)}{\left(\sin \alpha -\cos \alpha \right)\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)}-\frac{1}{\sin \alpha +\cos \alpha }$

$=\frac{1+\sin \alpha .\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }-\frac{1}{\sin \alpha +\cos \alpha }=\frac{\sin \alpha .\cos \alpha }{\sin \alpha +\cos \alpha }$

3. Bài tập về công thức lượng giác cơ bản

Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết rằng:

a) cos α = $\frac{-5}{9}$ và 90^o < α < 180^o.

b) tan α = –2 và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$.

Bài 2. Cho tanx = 3. Tính giá trị của biểu thức:

a) $A=\frac{4\sin x+2\cos x}{3\sin x+\cos x}$.

b) $B=\frac{3{\sin }^{2}x+4\sin x\cos x-5{\cos }^{2}x}{2{\sin }^{2}x+\sin x\cos x}$.

Bài 3. Chứng minh rằng các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) A = sin⁴x + cos⁴x + 2sin²xcos²x.

b) B = (sinx + cos x)² + (sinx – cos x)².

Bài 4. Cho sinx = $-\frac{7}{25}$ và $\frac{3\pi }{2}<x<2\pi$. Tính giá trị của các biểu thức:

a) $A=\frac{15\sin x-\cos x}{{\sin }^{4}x}$.

b) $B=\frac{{\cot }^{2}x-\tan x}{\sin x-\cos x}$.

Bài 5. Cho sinx + cosx = $\frac{2}{5}$. Tính giá trị của các biểu thức:

a) sin²x + cos²x.

b) sin³x + cos³x.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Dùng máy tính cầm tay (MTCT) để đổi số đo góc và tìm GTLG

• Các công thức cộng lượng giác

• Các công thức nhân đôi

• Các công thức biến đổi tích thành tổng

• Các công thức biến đổi tổng thành tích

• Hàm số lượng giác là gì

---