Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 7: Tần số và tần số tương đối sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 9 Chương 7.

Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 7

1. Bảng tần số

−Tần số của một giá trị là số lần xuất hiện giá trị đó trong mẫu dữ liệu.

−Bảng tần số là bảng thống kê cho biết tần số của các giá trị trong mẫu dữ liệu.

Chú ý: Bảng tần số còn có thể được thể hiện dưới dạng cột: Cột thức nhất ghi các giá trị, cột thứ hai ghi tần số của các giá trị đó.

Nhận xét:Trong bảng tần số, ta chỉ liệt kê các giá trị x_i khác nhau. Các giá trị x_i này có thể không là số. Tần số của một giá trị cho biết giá trị đó xuất hiện trong mẫu dữ liệu nhiều hay ít, từ đó ta dễ dàng xác định được giá trị xuất hiện nhiều nhất, ít nhất.

2. Biểu đồ tần số

⦁Biểu đồ biểu diễn bảng tần số được gọi là biểu đồ tần số. Biểu đồ tần số thường gặp là biểu đồ tần số dạng cột và biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng.

⦁Để vẽ biểu đồ tần số dạng đoạn thẳng ta thực hiện theo các bước sau:

−Bước 1: Vẽ trục ngang để biểu diễn các giá trị trong dãy dữ liệu, vẽ trục đứng thể hiện tần số.

−Bước 2: Với mỗi giá trị trên trục ngang và tần số tương ứng ta xác định một điểm, nối các điểm liên tiếp với nhau.

−Bước 3: Ghi chú thích cho các trục, các điểm và tiêu đề của biểu đồ.

3. Bảng tần số tương đối

Cho dãy dữ liệu x₁, x₂,…, x_n. Tần số tương đối f_i của giá trị x_i là tỉ số giữa tần số của x_i (gọi là m_i) với n.

Bảng tần số tương đối có dạng như sau:

Giá trị	x₁	…	x_k
Tần số tương đối	f₁	…	f_k

Trong đó n = m₁ + … + m_k và $f_{1} = \frac{m_{1}}{n} .100 (%)$ là tần số tương đối của x₁,…, $f_{k} = \frac{m_{k}}{n} .100 (%)$ là tần số tương đối của x_k.

Nhận xét: Tần số tương đối của một giá trị là ước lượng cho xác suất xuất hiện của giá trị đó.

4. Biểu đồ tần số tương đối

⦁Biểu đồ biểu diễn bảng tần số tương đối được gọi là biểu đồ tần số tương đối. Dạng thường gặp của biểu đồ tần số tương đối là biểu đồ cột và biểu đồ hình quạt tròn.

⦁Để vẽ biểu đồ hình quạt tròn ta thực hiện theo các bước sau:

−Bước 1: Xác định số đo cung tương ứng của các hình quạt dùng để biểu diễn tần số tương đối của các giá trị theo công thức 360°.f_i với i = 1,…,k.

−Bước 2: Vẽ hình tròn và chia hình tròn thành các hình quạt có số đo cung tương ứng được xác định trong Bước 1.

−Bước 3: Định dạng các hình quạt tròn (thường bằng cách tô màu), ghi tần số tương đối, chú thích và tiêu đề.

5. Bảng tần số, tần số tương đối ghép nhóm

−Bảng tần số ghép nhóm là bảng tần số của các nhóm số liệu:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Tần số mi của nhóm [a_i; a_i+1) là số giá trị cùa mẫu số liệu lớn hơn hoặc bằng a_i, và nhỏ hớn a_i+1.

−Bảng tần số tương đối ghép nhóm là bảng tần số tương đối của các nhóm số liệu:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Trong đó n = m₁ + … + m_k và $f_{1} = \frac{m_{1}}{n} \cdot 100 (%)$ là tần số tương đối của nhóm [a₁; a₂),…, $f_{k} = \frac{m_{k}}{n} .100 (%)$ là tần số tương đối của nhóm [a_k; a_k+1).

6. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột

⦁Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột là biểu đồ gồm các cột liền nhau để biểu diễn bảng tần số tương đối ghép nhóm. Trong biểu đồ này, chiều cao mỗi cột biểu diễn tần số tương đối của nhóm số liệu.

⦁Để vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột biểu diễn bảng tần số tương đối ghép nhóm với các nhóm số liệu có độ dài bằng nhau ta thực hiện theo các bước sau:

−Bước 1. Vẽ trục đứng, trục ngang. Trên trục đứng xác định đơn vị độ dài phù hợp với các tần số tương đối. Trên trục ngang xác định các nhóm số liệu cần biểu diễn.

−Bước 2. Dựng các hình cột (kề nhau) ứng với các nhóm dữ liệu, mỗi hình cột có chiều cao bằng tần số tương đối của nhóm số liệu.

−Bước 3. Ghi chú giải cho các trục, các cột và tiêu đề cho biểu đồ.

Ví dụ: Cho bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu dữ liệu thời gian một bác sĩ khám cho một số bệnh nhân (đơn vị: phút):

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng cột tương ứng:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

7. Biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng

⦁Để biểu diện bảng tần số tương đối ghép nhóm ta cũng có thể dùng biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng.

⦁Để vẽ biểu đồ tần số tương đối ghép nhóm dạng đoạn thẳng biểu diễn bảng tần số tương đối ghép nhóm ta thực hiện theo các bước sau:

−Bước 1. Chọn các giá trị $x_{i} = \frac{a_{i} + a_{i + 1}}{2}$ đại diện cho nhóm số liệu [a_i; a_i+1) với i = 1, 2, …, k.

−Bước 2. Vẽ trục ngang để biểu diễn các giá trị đại diện cho các nhóm số liệu, vẽ trục đứng thể hiện tần số tương đối.

−Bước 3. Với mỗi giá trị đại diện x_I trên trục ngang và tần số tương đối f_i tương ứng, ta xác định một điểm M_i(x_i; f_i). Nối các điểm liên tiếp với nhau.

−Bước 4. Ghi chú giải cho các trục, các điểm và tiêu đề của biểu đồ.

Bài tập ôn tập Chương 7

Bài 1. Cho bảng tần số biểu diễn số lượng học sinh trong lớp đăng kí tham gia các câu lạc bộ của trường như sau:

Câu lạc bộ	Võ thuật	Tiếng Anh	Nghệ thuật	Thủ công
Số lượng	6	9	5	3

Câu lạc bộ có tần số học sinh đăng ký cao nhất là

A. Võ thuật.

B. Tiếng Anh.

C. Nghệ thuật.

D. Thủ công.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta thấy câu lạc bộ Tiếng Anh có tần số học sinh đăng ký cao nhất (9 học sinh).

Bài 2. Số cuộc gọi đến một tổng đài hỗ trợ khách hàng mỗi ngày trong tháng 01/2024 được ghi lại như sau:

4 2 6 3 6 3 2 5 4 2

5 4 3 3 3 3 5 4 4 3

4 6 5 3 6 3 5 3 5 5

Trong bảng số liệu trên, có bao nhiêu giá trị có tần số lớn hơn 4?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Bảng tần số của mẫu dữ liệu:

Số cuộc gọi mỗi ngày	2	3	4	5	6
Tần số	3	10	6	7	4

Ta thấy có 3 giá trị có tần số lớn hơn 4 là 3; 4; 5.

Bài 3. Điều tra về “ Loại nhạc cụ bạn muốn chơi nhất” đối với các bạn trong lớp, bạn Trúc Linh thu được ý kiến trả lời và ghi lại như dưới đây:

Đàn piano, Trống, Đàn Bầu, Đàn piano, Đàn guitar

Đàn guitar, Sáo, Đàn guitar, Đàn guitar, Đàn piano

Sáo, Đàn piano, Sáo, Kèn harmonica, Đàn violin

Trống, Đàn guitar, Đàn Bầu, Đàn piano, Đàn piano

Đàn violin, Đàn piano, Đàn violin, Sáo, Trống

Kèn harmonica, Đàn violin, Đàn piano, Đàn piano, Đàn guitar

Có bao nhiêu loại nhạc cụ được nêu trong mẫu dữ liệu?

A. 5.

B. 6.

C. 7.

D. 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có 7 loại nhạc cụ được nêu ra là Sáo, Trống, Đàn guitar, Đàn piano, Kèn harmonica, Đàn violin, Đàn bầu.

Bài 4. Tại một trại hè thanh thiếu niên quốc tế, người ta tìm hiểu xem mỗi đại biểu tham dự có thể sử dụng được bao nhiêu ngoại ngữ. Kết quả được như bảng sau

Số ngoại ngữ	1	2	3	4	≥ 5
Số đại biểu	84	64	24	16	12

Tỉ lệ phần trăm số đại biểu sử dụng được ít nhất 2 ngoại ngữ là

A. 12%.

B. 32%.

C. 48%.

D. 58%.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Bảng tần số tương đối:

Số ngoại ngữ	1	2	3	4	≥ 5
Số đại biểu	42%	32%	12%	8%	6%

Tỉ lệ phần trăm đại biểu sử dụng được ít nhất 2 ngoại ngữ là:

32% + 12% + 8% + 6% = 58%.

Bài 5.Trong bảng số liệu sau có một số liệu không chính xác. Hãy tìm số liệu đó.

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

A. 16%.

B. 46%.

C. 28%.

D. 20%.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Số liệu không chính xác ở đây là 46%.

Sửa lại thành 36% vì $\frac{9}{4 + 9 + 7 + 5} \cdot 100 % = 36 %$ .

Bài 6. Lớp 9A có 40 bạn, trong đó có 20 bạn mặc áo cỡ M, 13 bạn mặc áo cỡ S, 7 bạn mặc áo cỡ L. Tần số tương đối của các bạn mặc áo cỡ M là

A. 50%

B. 32,5%

C. 17,5%

D. Một đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tần số tương đối của các bạn mặc áo cỡ M là $\frac{20}{20 + 13 + 7} \cdot 100 % = 50 %$ .

Bài 7. Cho các số liệu thống kê trong bảng sau là chiều cao (đơn vị: m) của 20 cây cao su. Hãy lập bảng tần số.

5 5 7 9 6

6 9 8 7 5

8 8 7 6 9

6 7 7 9 5

Hướng dẫn giải

Ta thấy tần số của 5 là 4, tần số của 6 là 4, tần số của 7 là 5, tần số của 8 là 3, tần số của 9 là 4.

Từ đó ta lập được bảng tần số:

Chiều cao (m)	5	6	7	8	9
Số lượng	4	4	5	3	4

Bài 8. Cho các số liệu thống kê trong bảng sau là thời gian hoàn thành một sản phẩm ở một nhóm công nhân (đơn vị: phút). Hãy lập bảng phân bố tần số và vẽ biểu đồ cột của bảng tần số.

42 42 42 42 44 44 44 44 44 45

45 45 45 45 45 45 45 45 45 45

45 45 45 45 45 45 45 45 45 54

54 54 50 50 50 50 48 48 48 48

48 48 48 48 48 48 50 50 50 50

Hướng dẫn giải

Bảng tần số của dữ liệu thống kê:

Thời gian (phút)	42	44	45	48	50	54
Tần số	4	5	20	10	8	3

Từ bảng tần số, ta vẽ được biểu đồ dạng cột:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Bài 9. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau là khối lượng của 15 con heo ở trang trại X (đơn vị: kg). Hãy lập bảng tần số và vẽ biểu đồ đường của bảng tần số.

4 5 6 7 8

5 6 8 8 7

4 5 7 7 6

Hướng dẫn giải

Bảng tần số của dữ liệu thống kê:

Khối lượng (kg)	4	5	6	7	8
Tần số	2	3	3	4	3

Biểu đồ đường biểu thị bảng tần số trên:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Bài 10. Sau khi điều tra 60 hộ gia đình ở một vùng dân cư về số nhân khẩu của mỗi hộ gia đình, người ta được dãy số liệu thống kê (hay còn gọi là mẫu số liệu thống kê) như sau:

6 6 6 7 5 5 4 5 6 4

4 8 6 6 6 6 5 5 5 4

6 6 7 7 5 5 5 5 6 4

4 6 6 6 6 6 5 5 5 4

8 6 6 5 5 5 5 6 6 4

5 6 7 6 8 6 5 5 6 5

Lập bảng tần số tương đối của mẫu dữ liệu trên.

Hướng dẫn giải

Ta thấy:

Giá trị 4 xuất hiện 8 lần.

Giá trị 5 xuất hiện 21 lần.

Giá trị 6 xuất hiện 24 lần.

Giá trị 7 xuất hiện 4 lần.

Giá trị 8 xuất hiện 3 lần.

Ta có:

$f_{1} = \frac{8}{60} \approx 13, 33 %$ ;

$f_{2} = \frac{21}{60} = 35 %$ ;

$f_{3} = \frac{24}{60} = 40 %$ ;

$f_{4} = \frac{4}{60} \approx 6, 67 %$ ;

$f_{5} = \frac{3}{60} = 5 %$

Bảng tần số tương đối ứng với dữ liệu thống kê trên:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Bài 11. Số cuộc gọi đến một tổng đài hỗ trợ khách hàng mỗi ngày trong tháng 01/2024 được ghi lại như sau:

4 2 6 3 6 3 2 5 4 2

5 4 3 3 3 3 5 4 4 3

4 6 5 3 6 3 5 3 5 5

Lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ cột của mẫu dữ liệu trên.

Hướng dẫn giải

Ta thấy:

Giá trị 2 xuất hiện 3 lần.

Giá trị 3 xuất hiện 10 lần.

Giá trị 4 xuất hiện 6 lần.

Giá trị 5 xuất hiện 7 lần.

Giá trị 6 xuất hiện 4 lần.

Cỡ mẫu n = 30.

Ta có:

$f_{1} = \frac{3}{30} = 10 %$ ;

$f_{2} = \frac{10}{30} \approx 33, 33 %$ ;

$f_{3} = \frac{6}{30} = 20 %$ ;

$f_{4} = \frac{7}{30} \approx 23, 33 %$ ;

$f_{5} = \frac{4}{30} \approx 13, 34 %$ .

Bảng tần số tương đối ứng với mẫu dữ liệu trên:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Ta có biểu đồ:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Bài 12.Thầy Nam ghi lại điểm bài kiểm tra, đánh giá định kì môn Toán của một số bạn học sinh khối 9 như sau:

6 9 9 8 10

8 8 6 9 7

8 8 6 10 9

7 6 9 10 9

7 7 7 9 10

10 7 8 8 7

Lập bảng tần số tương đối và vẽ biểu đồ quạt tròn của mẫu dữ liệu.

Hướng dẫn giải

Bảng tần số của mẫu dữ liệu:

Điểm bài kiểm tra	6	7	8	9	10
Tần số	4	7	7	7	5

Cỡ mẫu n = 30

Ta có:

$f_{1} = \frac{4}{30} \approx 13, 33 %$ ;

$f_{2} = \frac{7}{30} \approx 23, 33 %$ ;

$f_{3} = \frac{7}{30} \approx 23, 33 %$ ;

$f_{4} = \frac{7}{30} \approx 23, 33 %$ ;

$f_{5} = \frac{5}{30} \approx 16, 67 %$ .

Bảng tần số tương đối của mẫu dữ liệu:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Biểu đồ quạt tròn của mẫu dữ liệu:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Bài 13. Thống kê số lần truy cập Internet của 30 người trong một tuần như sau:

85 81 65 58 47 30 51 89 85 42

55 37 31 82 63 33 44 88 77 57

44 74 63 67 46 73 52 53 47 35

Lập bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu dữ liệu.

Hướng dẫn giải

Bảng tần số ghép nhóm của mẫu dữ liệu:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Cỡ mẫu n = 30.

Bảng tần số tương đối ghép nhóm của mẫu dữ liệu:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Bài 14. Giáo viên chủ nhiệm lớp 9C đã thu được kết quả như sau: Thời gian tự học dưới 1 giờ có 10 bạn; từ 1 giờ đến dưới 2 giờ có 15 bạn; từ 2 giờ đến dưới 3 giờ có 8 bạn; từ 3 giờ đến dưới 4 giờ có 7 bạn. Dựa vào mẫu dữ liệu trên hãy lập bảng tần số tương đối theo nhóm và vẽ biểu đồ cột tương ứng với bảng tần số tương đối theo nhóm đã lập được.

Hướng dẫn giải

Bảng tần số theo nhóm của mẫu dữ liệu:

Bài tập cuối chương 7 (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức