Căn bậc hai và căn thức bậc hai (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Căn bậc hai và căn thức bậc hai

1. Căn bậc hai

• Căn bậc hai của số thực không âm a là số thực x sao cho x² = a.

Ví dụ: Căn bậc hai của 16 là 4 và −4 vì 4² = (−4)² = 16.

Tính chất:

• $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$ với mọi số thực a.

Ví dụ: Ta có $\sqrt{81}=9$ nên căn bậc hai của 81 là 9 và −9.

Nhận xét:

• Số âm không có căn bậc hai.

• Số 0 có một căn bậc hai duy nhất là 0.

• Số dương a có đúng hai căn bậc hai đối nhau là $\sqrt{a}$ (căn bậc hai số học của a) và $-\sqrt{a}$.

2. Căn thức bậc hai

• Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A}$, trong đó A là một biểu thức đại số. A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

• $\sqrt{A}$ xác định khi A lấy giá trị không âm và ta thường viết là A ≥ 0. Ta nói A ≥ 0 là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của $\sqrt{A}$

Ví dụ: Tìm điều kiện xác định của căn thức $\sqrt{5-2x}.$

Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định của căn thức là 5 – 2x ≥ 0 hay $x\le \frac{5}{2}.$

Hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|$:

Tương tự như căn bậc hai của một số thực không âm, với A là một biểu thức, ta cũng có:

• Với A ≥ 0 ta có $\sqrt{A}\ge 0;$ ${\left(\sqrt{A}\right)}^2=A;$                  

• $\sqrt{A^2}=\left|A\right|.$

Ví dụ: Rút gọn biểu thức ${\left(\sqrt{1-x}\right)}^2$ với x < 0:

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết x < 0 suy ra 1 – x > 0.

Áp dụng hằng đẳng thức ${\left(\sqrt{A}\right)}^2=A$ ∀ A ≥ 0, ta có:${\left(\sqrt{1-x}\right)}^2=1-x.$

Bài tập Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Bài 1. Tìm căn bậc hai của mỗi số sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai):

a) 0,25;

b) $\frac{16}{81}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $0,25=\frac{1}{4}$ mà $\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0,5$ nên 0,25 có hai căn bậc hai là 0,5 và −0,5.

b) Ta có $\sqrt{\frac{16}{81}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{81}}=\frac{4}{9}\approx 0,44$ nên $\frac{16}{81}$ có hai căn bậc hai là 0,44 và −0,44.

Bài 2. Tìm điều kiện xác định của $\sqrt{2x-9}$ và tính giá trị của căn thức tại x = 5.

Hướng dẫn giải

Xét căn thức $\sqrt{2x-9}:$

Điều kiện xác định của căn thức là 2x – 9 ≥ 0 hay $x\ge \frac{9}{2}.$

Tại x = 5 (thỏa mãn điều kiện xác định) căn thức có giá trị là $\sqrt{2.5-9}=1.$

Bài 3. Rút gon các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(3+\sqrt{4}\right)}^2};$

b) $\sqrt{x^2-6x+9}$ với x < 3.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|,$ ta có $\sqrt{{\left(3+\sqrt{4}\right)}^2}=\left|3+\sqrt{4}\right|.$

Vì $3+\sqrt{4}>0$ suy ra $\left|3+\sqrt{4}\right|=3+\sqrt{4}=3+2=5$ ∀ x.

b) Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu và hằng đẳng thức $\sqrt{A^2}=\left|A\right|,$ ta có $\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=\left|x-3\right|.$

Do giả thiết x < 3 suy ra x – 3 < 0 nên $\left|x-3\right|=-\left(x-3\right)=3-x.$

Vì vậy$\sqrt{x^2-6x+9}=\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=3-x$ với x < 3.

Bài 4. Tìm giá trị của x, biết:

a) x² + 36 = 0;

b) $\sqrt{x}-4=\frac{1}{3};$

c) $\sqrt{x^2-6x+9}-1=3.$

Hướng dẫn giải

a) Xét biểu thức: x² + 36 = 0 hay x² = −36

Suy ra biểu thức vô nghiệm vì x² ≥ 0 ∀x.

b) Xét căn thức $\sqrt{x}:$

Điều kiện xác định của căn thức là x ≥ 0.

Ta có: $\sqrt{x}-4=\frac{1}{3}$

$\sqrt{x}=\frac{13}{3}$

$x={\left(\frac{13}{3}\right)}^2$

$x=\frac{169}{9}$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $x=\frac{169}{9}.$

c) Xét căn thức $\sqrt{x^2-6x+9}:$

Điều kiện xác định của căn thức là x² – 6x + 9 =(x – 3)² ≥ 0 ∀x.

Suy ra căn thức có nghĩa với mọi x.

Ta có: $\sqrt{x^2-6x+9}-1=3$

$\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}=4$

$\left|x-3\right|=16=4^2$

x – 3 = 4 hoặc x – 3 = –4

x = 7 hoặc x = –1

Vậy x ∈ {−1; 7}.

Học tốt Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Các bài học để học tốt Căn bậc hai và căn thức bậc hai Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 9 Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

• Lý thuyết Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

• Lý thuyết Toán 9 Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 3

• Lý thuyết Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

---