Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Số điểm chung của đường thẳng và đường tròn

⦁ Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là cắt nhau nếu chúng có đúng hai điểm chung (Hình a).

⦁ Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là tiếp xúc nhau nếu chúng có duy nhất một điểm chung H. Điểm chung ấy gọi là tiếp điểm. Khi đó, đường thẳng a còn gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại H (Hình b).

⦁ Đường thẳng a và đường tròn (O) gọi là không giao nhau nếu chúng không có điểm chung (Hình c).

Nhận xét:

Cho đường thẳng a và đường tròn (O; R). Gọi d là khoảng cách từ O đến a. Ta nhận thấy: Đường thẳng a và đường tròn (O; R) cắt nhau khi d < R (Hình a), tiếp xúc với nhau khi d = R (Hình b) và không giao nhau khi d > R (Hình c).

Nếu đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O) tại H thì OH ⊥ a.

Ví dụ 1. Cho đường tròn (G; 7 cm) và đường thẳng a và d là khoảnh cách từ G đến a. Không vẽ hình, xác định vị trí tương đối của đường thẳng m và đường tròn (G; 7 cm) trong mỗi trường hợp sau:

a) d = 5 cm;

b) d = 7 cm;

c) d = 9 cm.

Hướng dẫn giải

a) Ta có d = 5 cm; R = 7 cm.

Vì d < R nên đường thẳng a và đường tròn (G; 7 cm) cắt nhau tại hai điểm.

b) Ta có d = 7 cm; R = 7 cm.

Vì d = R nên đường thẳng a và đường tròn (G; 7 cm) tiếp xúc với nhau.

c) Ta có d = 9 cm; R = 7 cm.

Vì d > R nên đường thẳng m và đường tròn (G; 7 cm) không giao nhau.

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến): Nếu một đường thẳng đi qua một điểm nằm trên một đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho $\widehat{CAB}=30°$. Trên tia đối của tia BA lấy điểm M sao cho BM = R. Chứng minh:

a) MC là tiếp tuyến của (O).

b) $MC=R\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có tam giác OAC cân tại O (do OA = OC = R), suy ra $\widehat{OCA}=\widehat{OAC}=30°$.

Mà $\widehat{AOC}+\widehat{OCA}+\widehat{OAC}=180°$(tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat{AOC}=180°-2\widehat{OAC}=180°-2\cdot 30°=120°.$

Khi đó $\widehat{BOC}=180°-\widehat{AOC}=180°-120°=60°$.

Tam giác OBC cân tại O (do OB = OC = R) có $\widehat{BOC}=60°$nên tam giác OBC đều.

Do đó BC = OB = OC.

Mà OB = BM = R nên OB = BM = BC = R.

Vì vậy tam giác OMC vuông tại C hay MC ⊥ OC tại C thuộc đường tròn (O).

Vậy MC là tiếp tuyến của (O).

b) Tam giác OMC vuông tại C nên

$MC=OC.\tan \widehat{MOC}=R.\tan 60°=R\sqrt{3}$.

Vậy $MC=R\sqrt{3}$.

3. Hai tiếp tuyến cắt nhau của một đường tròn

Định lí 2 (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau):

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại điểm M thì:

⦁ Điểm M cách đều hai tiếp điểm;

⦁ MO là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến;

⦁ OM là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính qua hai tiếp điểm.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (A; AH). Từ B, C kẻ các tiếp tuyến BD, CE với (A) trong đó D, E là các tiếp điểm.

a) Chứng minh ba điểm A, D, E thẳng hàng.

b) Chứng minh $BD\cdot CE=\frac{D{E}^2}{4}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có AH ⊥ BC tại H∈ (A) nên BC là tiếp tuyến của (A), với H là tiếp điểm.

Đường tròn (A) có hai tiếp tuyến BH, BD cắt nhau tại B, áp dụng định lí 2, ta có BD = BH và AB là tia phân giác của $\widehat{DAH}$ hay $\widehat{DAB}=\widehat{BAH}$.

Chứng minh tương tự, ta được CE = CH và $\widehat{CAE}=\widehat{CAH}$.

Ta có $\widehat{DAB}+\widehat{CAE}=\widehat{BAH}+\widehat{CAH}=\widehat{BAC}=90°$

Do đó

$\widehat{DAE}=\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=\left(\widehat{DAB}+\widehat{CAE}\right)+\widehat{BAC}=90°+90°=180°$

Vậy ba điểm D, A, E thẳng hàng.

b) Từ kết quả câu a), ta có đường tròn (A; AH) có DE là đường kính.

Suy ra DE = 2R nên $R=\frac{DE}{2}.$

Xét ∆AHB và ∆CHA có:

$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90°$và $\widehat{HAB}=\widehat{HCA}$ (cùng phụ với góc HAC)

Do đó ∆AHB ᔕ ∆CHA (g.g).

Suy ra $\frac{AH}{CH}=\frac{HB}{AH}$(tỉ số các cạnh tương ứng)

Hay AH² = BH.CH.

Mà BD = BH và CE = CH (chứng minh câu a)

Nên $BD\cdot CE=BH\cdot CH=A{H}^2=R^2={\left(\frac{DE}{2}\right)}^2=\frac{D{E}^2}{4}$.

Vậy $BD\cdot CE=\frac{D{E}^2}{4}.$

Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Bài 1. Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất bao nhiêu điểm chung?

A. 1;

B. 2;

C. 0;

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất 2 điểm chung.Khi đó đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Bài 2. Cho tam giác MNP có MN = 5 cm, NP = 12 cm, MP = 13 cm. Vẽ đường tròn (M; MN). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. NP là tiếp tuyến của (M; MN);

B. MN là tiếp tuyến của (M; MN);

C. ∆MNP vuông tại M;

D. ∆MNP vuông tại P.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có 5² + 12² = 13² = 169.

Suy ra MN² + NP² = MP².

Áp dụng định lý Pythagore đảo, ta có tam giác MNP vuông tại N.

Khi đó MN ⊥ NP tại N thuộc đường tròn (M; MN).

Vậy NP là tiếp tuyến của đường tròn (M; MN).

⦁ Phương án B sai vì MN là bán kính của đường tròn (M; MN).

⦁Phương án C, D sai vì tam giác MNP vuông tại N.

Bài 3. Cho hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm. Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Khoảng cách từ điểm đó tới hai tiếp tuyến là bằng nhau;

B. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính;

C. Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính;

D. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi tiếp tuyến.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí 2, ta có phương án A, C, D đúng.

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 4. Cho điểm A cách đường thẳng xy một khoảng bằng 12 cm.

a) Chứng minh đường tròn (A; 13 cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt.

b) Gọi hai giao điểm của (A; 13 cm) với xy là B, C. Tính độ dài đoạn thẳng BC.

Hướng dẫn giải

a) Vì điểm A cách đường thẳng xy một khoảng bằng 12 cm nên d = 12 cm.

Ta có d = 12 cm < R = 13 cm.

Vậy đường tròn (A; 13 cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt.

b) Kẻ AH vuông góc với xy tại H.

Suy ra AH = d = 12 cm.

Tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Pythagore, ta có:

AB² = AH² + BH²

Suy ra $BH=\sqrt{A{B}^2-A{H}^2}=\sqrt{{13}^2-{12}^2}=5$  (cm).

Tam giác ABC cân tại A (do AB = AC = R) có AH là đường cao nên AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.Khi đó H là trung điểm BC.

Vì vậy BC = 2BH = 2.5 = 10 (cm).

Vậy BC = 10 cm.

Bài 5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho $\widehat{AMB}=60°$. Biết chu vi tam giác AMB bằng 24 cm. Tính độ dài bán kính của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MA = MB.

Suy ra tam giác AMB cân tại M.

Mà $\widehat{AMB}=60°$nên tam giác AMB đều.

Suy ra AM = MB = AB.

Lại có chu vi tam giác AMB bằng 24 cm nên $AM=MB=AB=\frac{24}{3}=8$ (cm).

Áp dụng định lí hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có MO là tia phân giác của .

Suy ra $\widehat{AMO}=\frac{\widehat{AMB}}{2}=\frac{60°}{2}=30°$.

Vì MA là tiếp tuyến của (O) với A là tiếp điểm nên MA ⊥ OA.

Tam giác OAM vuông tại A nên:

$OA=AM\cdot \tan \widehat{AMO}=8\cdot \tan 30°=\frac{8\sqrt{3}}{3}$ (cm).

Vậy độ dài bán kính của đường tròn (O) bằng $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm.

Bài 6. Một diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên một sợi dây cáp căng được cố định ở hai đầu dây. Biết đường kính bánh xe là 62 cm. Tính khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp.

Hướng dẫn giải

Bán kính của bánh xe là: $R=\frac{62}{2}=31$ (cm).

Vì diễn viên xiếc đi xe đạp một bánh trên một sợi dây cáp căng được cố định ở hai đầu dây nên sợi dây là tiếp tuyến của bánh xe.

Khi đó khoảng cách từ trục bánh xe đến sợi dây luôn bằng R = 31 cm.

Vậy khoảng cách từ trục bánh xe đến dây cáp bằng 31 cm.

Học tốt Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Các bài học để học tốt Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 9 Bài 13: Mở đầu về đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

• Lý thuyết Toán 9 Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

---