Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

1. Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

Định lý 1: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Chú ý:

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$b=a.\sin B=a.\cos C;$ $c=a.\sin C=a.\cos B.$

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có $\hat{B}=36°;$ độ dài cạnh huyền bằng 20 cm. Tính độ dài các cạnh góc vuông trong mỗi trường hợp sau (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A,$\hat{B}=36°$, ta có:

• AB = BC . cos B = 20 . cos 36° ≈ 16,18 (cm).

• AC = BC . sin B = 20 . sin 36° ≈ 11,76 (cm).

Vậy AB ≈ 16,18 cm; AC ≈ 11,76 cm.

2. Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông

Định lí 2: Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề.

Chú ý:

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$b=c.\tan B=c.\cot C;$ $c=b.\tan C=b.\cot B.$

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB = 5 cm và số đo góc $\widehat{ACB}$ bằng 30°. Tính AC, BC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:AC = AB.cot C.

Suy ra $AC=5.\cot 30°=5\sqrt{3}$ (cm).

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC²$=5^2+{\left(5\sqrt{3}\right)}^2=100$

Do đó $BC=\sqrt{100}=10$ (cm).

Vậy $AC=5\sqrt{3}$ cm, BC = 10 cm.

3. Giải tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó. Bài toán này gọi là bài toán Giải tam giác vuông.

Ví dụ: Nêu cách giải tam giác ABC vuông tại A khi biết cạnh góc vuông AB và góc B.

Hướng dẫn giải

Ta sẽ sử dụng những công thức sau để tìm các cạnh và các góc còn lại của tam giác ABC vuông tại A nếu biết cạnh góc vuông AB và góc B:

• $AC=AB.\tan B.$

• BC² = AB² + AC² (định lí Pythgore) nên $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}.$

•  $\hat{A}=90°$ (do tam giác ABC vuông tại A).

• $\hat{C}=90°-\hat{B}$ (do góc B và góc C phụ nhau).

Bài tập Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài 1. Giải tam giác ABC vuông tại A có BC = a, AC = b, AB = c, trong các trường hợp:

a) a = 22 cm, b = 16 cm;

b) b = 8 cm, $\hat{C}=45°$.

(Các kết quả làm tròn đến số thập phân thứ nhất hoặc làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

a) Theo định lí Pythagore, ta có: a² = b² + c²

Suy ra c² = a² – b² = 22² – 16² = 228.

Do đó$c=\sqrt{228}=2\sqrt{57}\approx 15,1$ (cm).

Ta có:

• $\hat{A}=90°$ (do tam giác ABC vuông tại A).

• $\sin B=\frac{b}{a}=\frac{16}{22}\approx 0,72$, suy ra $\hat{B}\approx 46°$.

• Do $\hat{A}=90°$ nên $\hat{C}=\hat{A}-\hat{B}\approx 90°-46°=44°$.

Vậy c ≈ 15,1 cm; $\hat{A}=90°$; $\hat{B}\approx 46°$; $\hat{C}\approx 44°$.

b) Xét tam giác ABC vuông tại A, có $\hat{C}=45°$ suy ra $\hat{A}=90°$ $\hat{B}=45°.$

Suy ra, tam giác ABC là tam giác vuông cân (do $\hat{B}=\hat{C}=45°$).

Do đó, b = c = 8 (cm).

Theo định lí Pythagore, ta có: a² = b² + c² = 8² + 8² =128.

Do đó $a=\sqrt{128}=8\sqrt{2}\approx 11,31$ (cm).

Vậy a ≈ 11,31 cm; c = 8 cm; $\hat{A}=90°$, $\hat{B}=45°.$

Bài 2. Tìm các góc của hình thoi có hai đường chéo dài $\sqrt{3}$ và 3.

Hướng dẫn giải

Xét hình thoi ABCD, có AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)

Ta có: $\tan \widehat{DBC}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$, suy ra $\widehat{DBC}=60°$.

Mà $\widehat{DBC}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=120°$ nên $\hat{B}=\hat{D}=120°$ (tính chất hình thoi).

Ta có: AB // CD nên $\hat{B}+\hat{C}=180°$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\hat{C}=180°-120°=60°$

Do đó $\hat{A}=\hat{C}=60°$ (tính chất hình thoi).

Vậy $\hat{A}=\hat{C}=60°$; $\hat{B}=\hat{D}=120°$.

Bài 3. Một cây cao có chiều cao 6m. Để hái một buồng cau xuống, phải đặt thang tre sao cho đầu thang tre đạt độ cao đó, khi đó góc của thang tre với mặt đất là bao nhiêu, biết chiếc thang dài 8m.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

Trong hình vẽ trên, BC là chiều dài của thang tre, AC là chiều cao của cây tre, và AB là khoảng cách từ thang tre tới cây tre.

Xét ∆ABC vuông tại A, ta có:

$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$ ⇒ $\hat{B}\approx 48°$

Vậy góc giữa thang tre với mặt đất là 48°.

Học tốt Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Các bài học để học tốt Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 4

• Lý thuyết Toán 9 Bài 13: Mở đầu về đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

• Lý thuyết Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

---