Tỉ số lượng giác của góc nhọn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Tỉ số lượng giác của góc nhọn

1. Khái niệm tỉ số lượng giác của một góc nhọn

Cho góc nhọn α. Xét tam giác ABC vuông tại A có góc nhọn B bằng α.

Ta có:

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của α, kí hiệu sin α.

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là côsin của α, kí hiệu cos α.

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của góc α gọi là tang của α, kí hiệu tan α.

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối của góc α gọi là côtang của α, kí hiệu cot α.

Nhận xét:

• Trong hình trên, các tam giác vuông có cùng một góc nhọn α là đồng dạng với nhau. Vì vậy các tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền (cạnh kề và cạnh huyền), cạnh đối và cạnh kề (cạnh kề và cạnh đối) của góc nhọn α là như nhau, cho dù độ dài các cạnh đối (các cạnh kề) của góc α và cạnh huyền có thể khác nhau với từng tam giác.

Chú ý: Ta có:

• sin α, cos α, tan α, cot α gọi là các tỉ số lượng giác của góc nhọn α.

• sin, côsin của góc nhọn luôn dương và bé hơn 1 vì trong tam giác vuông, cạnh huyền dài nhất.

• Ta có bảng sau:

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25, suy ra BC = 5 (cm).

Ta có các tỉ số lượng giác của góc C là:

• $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5};$  • $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5};$

• $\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4};$  • $\cot C=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}.$

2. Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Định lí:

• Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.

Chú ý:

• Cho α và β là hai góc phụ nhau, khi đó: sin α = cos β, cos α = sin β, tan α = cot β, cot α = tan β.

• Về số đo, hai góc phụ nhau có thể coi là hai góc nhọn của một tam giác vuông.

Ví dụ: Biến đổi các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của góc nhỏ hơn 45°:

cos 60°, sin 75°, tan 85°, cot 72°.

Hướng dẫn giải

Ta có:

• cos 60° = sin(90° − 60°) = sin 30°.

• sin 75° = cos(90° − 75°) = cos 25°.

• tan 85° = cot(90° − 85°) = cot 5°.

• cot 72° = tan(90° − 72°) = tan 18°.

Bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính các tỉ số lượng giác sin, cos, tan, cot của các góc nhọn B và C khi biết:

a) AB = 5 cm, BC = 19 cm;

b) AC = 0,8 cm, AB = 1,2 cm.

Hướng dẫn giải

a) Theo định lí Pythagore, ta có: BC² = AB² + AC²

Suy ra AC² = BC² – AB² = 19² – 5² = 336

Do đó $AC=\sqrt{336}=4\sqrt{21}$.

Các tỉ số lượng giác của góc B và góc C là:

• $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{21}}{19};$ $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{19}.$

• $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{4\sqrt{21}}{5};$ $\cot B=\frac{1}{\tan B}=\frac{5}{4\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{21}}{84}.$

• $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{5}{19};$ $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{4\sqrt{21}}{19}.$

• $\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{5}{4\sqrt{21}}=\frac{5\sqrt{21}}{84};$ $\cot C=\frac{1}{\tan C}=\frac{4\sqrt{21}}{5}.$

b) Theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 0,8² + 1,2² = 2,08.

Suy ra $BC=\sqrt{2,08}=\frac{2\sqrt{13}}{5}$.

Các tỉ số lượng giác của góc B và góc C là:

• $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{1,2}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{3\sqrt{13}}{13};$ $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{0,8}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}.$

• $\tan B=\frac{AC}{AB}=\frac{1,2}{0,8}=\frac{3}{2};$ $\cot B=\frac{1}{\tan B}=\frac{2}{3}.$

• $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{0,8}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{2\sqrt{13}}{13};$ $\cos C=\frac{AC}{BC}=\frac{1,2}{\frac{2\sqrt{13}}{5}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}.$

• $\tan C=\frac{AB}{AC}=\frac{0,8}{1,2}=\frac{2}{3};$ $\cot C=\frac{1}{\tan C}=\frac{3}{2}.$

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 2 và $\sqrt{2}.$ Tính $\widehat{CAD}$. (làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình chữ nhật  nên $\widehat{ADC}=90°$.

Xét tam giác ACD vuông tại D, ta có: $\tan \widehat{CAD}=\frac{CD}{AD}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$.

Do đó $\widehat{CAD}\approx 55°.$

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật bằng 55°.

Bài 3. Tính chiều cao của một ngọn núi (làm tròn đến mét), biết tại hai điểm A, B cách nhau 500m, người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 34° và 38°.

Hướng dẫn giải

Đặt BC = x (m).

Theo đề bài, ta có: AC = AB + BC = 500 + x (m)

Xét tam giác ACD vuông tại C, ta có:

$\tan \widehat{CAD}=\frac{CD}{AC}$ nên$CD=AC.\tan \widehat{CAD}$

Suy ra CD = (500 + x).tan 34° (1)

Xét tam giác BCD vuông tại C, ta có:

$\tan \widehat{CBD}=\frac{CD}{BC}$ nên$CD=BC.\tan \widehat{CBD}$

Suy ra CD = x.tan 38° (2)

Từ (1) và (2), ta có:(500 + x).tan 34° = x.tan 38°

500.tan 34° + x.tan 34° = x.tan 38°

x.tan 38° − x.tan 34° = 500.tan 34°

x.(tan 38° − tan 34°) = 500.tan 34°

Do đó $x=\frac{500.\tan 34°}{\tan 38°-\tan 34°}\approx 3158,5$ (m).

Chiều cao của ngọn núi là: CD ≈ 3158,5.tan 38° ≈ 2467,7 (m).

Vậy chiều cao của ngọn núi là 2467,7 m.

Học tốt Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Các bài học để học tốt Tỉ số lượng giác của góc nhọn Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 4

• Lý thuyết Toán 9 Bài 13: Mở đầu về đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

---