Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

1. Khai căn bậc hai và phép nhân

• Với A, B là các biểu thức không âm, ta có $\sqrt{A}.\sqrt{B}=\sqrt{AB}.$

Chú ý:

• Phép nhân có thể mở rộng cho nhiều biểu thức không âm, ví dụ:

$\sqrt{A}.\sqrt{B}.\sqrt{C}=\sqrt{A.B.C}$ (với A ≥ 0, B ≥ 0, C ≥ 0).

• Nếu A ≥ 0, B ≥ 0, C ≥ 0 thì $\sqrt{A^2{B}^2{C}^2}=ABC.$

Ví dụ: Tính:

a) $\sqrt{16}.\sqrt{4}$;

b) $\sqrt{9}\left(\sqrt{169}+\sqrt{25}\right)$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{16}.\sqrt{4}=\sqrt{16.4}=\sqrt{64}=8.$

b) Ta có: $\sqrt{9}\left(\sqrt{169}+\sqrt{25}\right)$

$=\sqrt{9}.\sqrt{169}+\sqrt{9}.\sqrt{25}$

$=\sqrt{9.169}+\sqrt{9.25}$

$=\sqrt{1521}+\sqrt{225}$

= 39 + 15= 54.

2. Khai căn bậc hai và phép chia

Nếu A, B là các biểu thức với A ≥ 0, B > 0 thì $\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A}{B}}.$

Ví dụ: Tính:

a) $\sqrt{1,44}$;

b) $\sqrt{9a^{2}b{c}^2}:\sqrt{4b}$ (b ≥ 0).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $1,44=\frac{144}{100}=\frac{{12}^2}{{10}^2}$ 

nên $\sqrt{1,44}=\sqrt{\frac{{12}^2}{{10}^2}}=\frac{\sqrt{{12}^2}}{\sqrt{{10}^2}}=\frac{12}{10}=1,2.$

b) Do b ≥ 0 nên ta có:

$\sqrt{9a^{2}b{c}^2}:\sqrt{4b}$$=\frac{\sqrt{9a^{2}b{c}^2}}{\sqrt{4b}}$$=\sqrt{\frac{9a^2{b}^2{c}^2}{4b}}$$=\sqrt{\frac{9a^2{c}^2}{4}}$$=\frac{3ac}{2}.$

Bài tập Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{{\left(4-\sqrt{3}\right)}^2}+\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2};$

b) $\sqrt{{\left(3-\sqrt{2}\right)}^2}+5-2\sqrt{2};$

c) ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{10};$

d) $\frac{x-3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$ với x ≥ 0; x ≠ 4.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{{\left(4-\sqrt{3}\right)}^2}+\sqrt{{\left(1+\sqrt{3}\right)}^2}$

$=\left|4-\sqrt{3}\right|+\left|1+\sqrt{3}\right|$

$=4-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}=5$.

b) Ta có: $\sqrt{{\left(3-\sqrt{2}\right)}^2}+5-2\sqrt{2}$

$=\left|3-\sqrt{2}\right|+5-2\sqrt{2}$

$=3-\sqrt{2}+5-2\sqrt{2}$

$=8-3\sqrt{2}.$

c) Ta có: ${\left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{10}$

$={\left(\sqrt{2}\right)}^2+2.\sqrt{2}.\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2-2\sqrt{10}$

$=4+2\sqrt{10}+5-2\sqrt{10}=9.$

d) Ta có: $\frac{x-3\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$ (x ≥ 0; x ≠ 4)

$=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)-1.\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}-2}$

$=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}-2}$$=\sqrt{x}-1.$

Bài 2. Cho căn thức $\sqrt{x^2-2x+1}.$

a) Hãy chứng tỏ rằng căn thức xác định với mọi giá trị của x;

b) Rút gọn căn thức đã cho với x ≥ 1;

c) Chứng tỏ rằng với mọi x ≥ 1, biểu thức $\sqrt{x-\sqrt{x^2-2x+1}}$ có giá trị không đổi.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của căn thức $\sqrt{x^2-2x+1}$ là x² – 2x + 1 ≥ 0 ⇔ (x² – 1) ≥ 0 ∀ x

Suy ra căn thức xác định với mọi giá trị của x.

b) Với x ≥ 1, ta có:

$\sqrt{x^2-2x+1}=\sqrt{{\left(x-1\right)}^2}=\left|x-1\right|=x-1.$

c) Với x ≥ 1, ta có:

$\sqrt{x-\sqrt{x^2-2x+1}}=\sqrt{x-\left(x-1\right)}=\sqrt{x-x+1}=\sqrt{1}=1.$

Bài 3. Chứng minh rằng:

a) ${\left(2-\sqrt{5}\right)}^2=9-4\sqrt{5};$

b) ${\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)}^2=11+2\sqrt{30}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: VT = ${\left(2-\sqrt{5}\right)}^2=2^2-\mathrm{2.2.}\sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2$

$=4-4\sqrt{5}+5=9-4\sqrt{5}=VP$ (ĐPCM).

b) Ta có: $VT={\left(\sqrt{5}+\sqrt{6}\right)}^2={\left(\sqrt{5}\right)}^2+2.\sqrt{5}.\sqrt{6}+{\left(\sqrt{6}\right)}^2$

$=5+2.\sqrt{30}+6=11+2\sqrt{30}=VP$ (ĐPCM).

Bài 4. Điện áp V (tính theo volt) yêu cầu cho một mạch điện được cho bởi công thức $V=\sqrt{PR},$ trong đó P là công suất (tính theo watt) và R là điện trở trong (tính theo ohm).

a) Cần bao nhiêu volt để thắp sáng một bóng đèn A có công suất 100 watt và điện trở của mỗi bóng đèn là 110 ohm?;

b) Bóng đèn B có điện áp bằng 110 volt, điện trở trong là 88 ohm có công suất lớn hơn bóng đèn A không? Giải thích.

Hướng dẫn giải

a) Thay P = 100, R = 110 vào công thức $V=\sqrt{PR},$ ta được:

$V=\sqrt{100.110}\approx 104,88$ (volt)

Vậy số volt để thắp sáng một bóng đèn A là 104,88 (volt).

b) Thay V = 110, R = 88 vào công thức $V=\sqrt{PR},$ ta được:

$\sqrt{P.88}=110$ ⇒ P.88 = (110)² ⇒ $P=\frac{{\left(110\right)}^2}{88}\approx 137,50$ (watt) > 100 (watt)

Vậy bóng đèn B có công suất lớn hơn bóng đèn A.

Học tốt Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Các bài học để học tốt Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài 8: Khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

• Lý thuyết Toán 9 Bài 10: Căn bậc ba và căn thức bậc ba

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 3

• Lý thuyết Toán 9 Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

---