Mở đầu về đường tròn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 13: Mở đầu về đường tròn sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Mở đầu về đường tròn

1. Đường tròn, điểm thuộc đường tròn

Khái niệm: Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0), kí hiệu là (O; R), là hình gồm tất cả các điểm cách điểm O một khoảng bằng R.

⦁ Khi không cần để ý đến bán kính ta kí hiệu đường tròn tâm O là (O).

⦁ Nếu A là một điểm của đường tròn (O) thì ta viết A ∈ (O). Khi đó, ta còn nói đường tròn (O) đi qua điểm A, hay điểm A nằm trên đường tròn (O).

Nhận xét

Một cách tổng quát, ta có:

– Điểm M nằm trên đường tròn (O; R) nếu OM = R (Hình a);

– Điểm M nằm trong đường tròn (O; R) nếu OM < R (Hình b);

– Điểm M nằm ngoài đường tròn (O; R) nếu OM > R (Hình c).

Hình tròn tâm O bán kính R là hình gồm các điểm nằm trên và nằm trong đường tròn (O; R).

Ví dụ 1.Cho hình vẽ sau:

Trên hình vẽ, ta thấy:

+ Điểm A nằm trên, điểm C nằm trong và điểm B nằm ngoài đường tròn (O; R).

+ Điểm A và điểm C thuộc hình tròn tâm O bán kính R.

Ví dụ 2. Gọi I là trung điểm của PQ. Chứng minh rằng đường tròn (I; IP) đi qua Q.

Hướng dẫn giải

Vì I là trung điểm của đoạn PQ nên IP = IQ.

Do đó Q ∈ (I; IP), nói cách khác, đường tròn (I; IP) đi qua Q.

Chú ý: Ở lớp dưới, ta đã biết đoạn PQ trong Ví dụ 2 là một đường kính của đường tròn (I). Do đó (I) còn gọi là đường tròn đường kính PQ.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Xác định tâm và bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore, ta có:

BC² = AB² + AC² = 15² + 20² = 625.

Suy ra BC = 25 (cm).

Gọi I là trung điểm của BC. Do đó $IB=IC=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}=12,5$ (cm).

Mặt khác, AI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của ∆ABC vuông tại A nên $AI=\frac{BC}{2}=\frac{25}{2}=12,5$ (cm).

Suy ra IA = IB = IC = 12,5 (cm).

Vậy đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC có tâm là trung điểm I của đoạn BC và bán kính R = 12,5 cm.

2. Tính đối xứng của đường tròn

2.1. Đối xứng tâm và đối xứng trục

Đối xứng tâm

Hai điểm M và M’ gọi là đối xứng với nhau qua điểm I (hay qua tâm I) nếu I là trung điểm của đoạn thẳng MM’ (Hình a).

Chẳng hạn, nếu O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD thì OA = OC nên A và C đối xứng với nhau qua O. Tương tự, B và D đối xứng với nhau qua O (Hình b).

Đối xứng trục

Hai điểm M và M’ gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d (hay qua trục d) nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ (Hình a).

Chẳng hạn, nếu AH là đường cao trong tam giác ABC cân tại A thì AH cũng là đường trung trực của BC, nên B và C đối xứng với nhau qua AH (Hình b).

2.2. Tâm và trục đối xứng của đường tròn

⦁ Đường tròn là hình có tâm đối xứng; tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó.

⦁ Đường tròn là hình có trục đối xứng; mỗi đường thẳng qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của nó.

Chú ý: Đường tròn có một tâm đối xứng, nhưng có vô số trục đối xứng.

Ví dụ 4.Vẽ đường tròn (O).

a) Tìm tâm đối xứng của (O).

b) Vẽ hai trục đối xứng của (O).

Hướng dẫn giải

a) Tâm O là tâm đối xứng của (O).

b) Vẽ hai đường thẳng a và b đi qua tâm O (như hình vẽ). Ta có a và b đều là trục đối xứng của (O).

Bài tập Mở đầu về đường tròn

Bài 1. Điểm K nằm trong đường tròn (O; R) khi:

A. OK < R;

B. OK > R;

C. OK = R;

D. OK ≠ R.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điểm K nằm trong đường tròn (O; R) nếu OK < R.

Bài 2. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Đường tròn có một trục đối xứng;

B. Đường tròn có vô số trục đối xứng;

C. Đường tròn có một tâm đối xứng duy nhất;

D. Chỉ B, C đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mỗi đường thẳng đi qua tâm của đường tròn là một trục đối xứng của đường tròn đó.

Do đó phương án B đúng, phương án A sai.

Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó.

Do đó phương án C đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(–1; –1) và đường tròn (O; 2). Kết luận nào sau đây đúng?

A. Điểm A nằm ngoài đường tròn;

B. Điểm A nằm trên đường tròn;

C. Điểm A nằm trong đường tròn;

D. Không kết luận được.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Kẻ AH ⊥ Ox tại H; AK ⊥ Oy tại K.

Khi đó OH = |x_A| = |–1| = 1; OK = |y_A| = |–1|= 1.

Tứ giác OHAK, có: $\widehat{HOK}=\widehat{AHO}=\widehat{AKO}=90°$  và OH = OK = 1.

Suy ra tứ giác OHAK là hình vuông, do đó AH = OH = 1.

Xét ∆OHA vuông tại H, theo định lí Pythagore ta có:

OA² = OH² + AH² = 1² + 1² = 2.

Do đó $OA=\sqrt{2}$ .

Ta có: $OA=\sqrt{2}<2$ nên điểm A nằm trong đường tròn (O; 2).

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4. Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, $OA=2\sqrt{2}$ cm. Vẽ đường tròn (A; 4 cm). Trong các điểm O, B, C, D, xác định điểm nằm trong, nằm trên và nằm ngoài đường tròn (A; 4 cm).

Hướng dẫn giải

Hình vuông ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo nên AC ⊥ BD, AC = BD và O là trung điểm của AC, BD.

Suy ra $OB=OA=2\sqrt{2}$ (cm) và AO ⊥ OB.

Xét ∆AOB vuông O, theo định lí Pythagore ta có:

$A{B}^2=O{A}^2+O{B}^2={\left(2\sqrt{2}\right)}^2+{\left(2\sqrt{2}\right)}^2=16.$

Do đó AB = 4 (cm).

Khi đó, AD = AB = 4 (cm) (do ABCD là hình vuông) nênhai điểm B, D nằm trên đường tròn (A; 4 cm).

Vì $OA=2\sqrt{2}$ (cm) < 4 (cm) nên điểm O nằm trong đường tròn (A; 4 cm).

Ta có $AC=2OA=2\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ (cm) > 4 (cm) nên điểm C nằm ngoài đường tròn (A; 4 cm).

Bài 5. Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có $\hat{C}=\hat{D}=60°$ và CD = 2AD.

a) Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

b) Tính diện tích hình thang ABCD biết AD = 4 cm vàAB = 1,5 cm.

Hướng dẫn giải

a) Hình thang ABCD, có: AB // CD và $\hat{C}=\hat{D}=60°$  nên ABCD là hình thang cân.

Do đó BC = AD.

Gọi M là trung điểm CD. Suy ra CD = 2MD và MC = MD     (1)

Mà CD = 2AD nên MD = AD.

Xét ∆ADM có MD = AD và $\widehat{ADM}=60°$nên ∆ADM đều.

Suy ra MA = MD      (2)

Chứng minh tương tự, ta được MC = MB     (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được MA = MB = MC = MD.

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (M; MD).

b) Kẻ AH ⊥ CD tại H.

Do tam giác ADM đều nên $\widehat{ADH}=60°.$

Xét ∆ADH vuông tại H, ta có:

$AH=AD\cdot \sin \widehat{ADH}=4\cdot \sin 60°=4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{ (cm).}$

Diện tích hình thang ABCD là:

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot \left(AB+CD\right)=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot \left(1,5+4\right)=\frac{11\sqrt{3}}{2}\left(c{m}^2\right)$

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng $\frac{11\sqrt{3}}{2}$ cm².

Bài 6. Cho đường tròn (O; R). Đường thẳng d đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm A, C. Đường thẳng d’ (khác d) đi qua tâm O, cắt đường tròn (O) tại hai điểm B, D. Chứng minh rằng:

a) A và C đối xứng với nhau qua điểm O; B và D đối xứng với nhau qua điểm O.

b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

a) Xét đường tròn (O; R), ta có: OA = OC = R.

Suy ra O là trung điểm của AC.

Như vậy, A và C đối xứng với nhau qua điểm O.

Chứng minh tương tự, ta được B và D đối xứng với nhau qua O.

b) Ta có: AC = OA + OC = 2R và BD = OB + OD = 2R, nên AC = BD.

Xét tứ giác ABCD có O là trung điểm của AC và BD nên ABCD là hình bình hành.

Lại có AC = BD nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

Học tốt Mở đầu về đường tròn

Các bài học để học tốt Mở đầu về đường tròn Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Bài 13: Mở đầu về đường tròn

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Lý thuyết Toán 9 Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

• Lý thuyết Toán 9 Bài 16: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

• Lý thuyết Toán 9 Bài 17: Vị trí tương đối của hai đường tròn

• Tổng hợp lý thuyết Toán 9 Chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

• Giải sgk Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 9 Kết nối tri thức
• Giải lớp 9 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 9 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 9 Cánh diều (các môn học)

---