Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

1. Phương trình tích

Để giải phương trình (ax + b)(cx + d) = 0, ta giải hai phương trình ax + b = 0 và cx + d = 0. Sau đó lấy tất cả các nghiệm của chúng.

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

a) 2x(5x + 1) = 0;

b) (2x + 4)(3x + 7) = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 2x(5x + 1) = 0

Nên 2x = 0 hoặc 5x + 1 = 0

• 2x = 0, suy ra x = 0.

• 5x + 1 = 0 hay 5x = –1, suy ra $x = - \frac{1}{5}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và $x = - \frac{1}{5}$

b) Ta có (2x + 4)(3x + 7) = 0

Nên 2x + 4 = 0 hoặc 3x + 7 = 0.

• 2x + 4 = 0 hay 2x = –4, suy ra x = –2.

• 3x + 7 = 0 hay 3x = –7, suy ra $x = - \frac{7}{3}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và $x = - \frac{7}{3}$ .

Nhận xét: Để giải phương trình, ta thực hiện theo hai bước:

Bước 1. Đưa phương trình về phương trình tích (ax + b)(cx + d) = 0.

Bước 2. Giải phương trình tích tìm được.

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

a) (2x + 1)² – 9x² = 0;

b) x² – 2x = 3x – 6.

Hướng dẫn giải

a) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

(3x + 1)² – 16x² = 0

(3x + 1)² – (4x)² = 0

(3x + 1 + 4x)(3x + 1 – 4x) = 0

(7x + 1)(–x + 1) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

• 7x + 1 = 0 hay 7x = –1, suy ra $x = \frac{- 1}{7}$

• –x + 1 = 0 hay –x = –1, suy ra x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = \frac{- 1}{7}$ và x = 1.

b) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

x² – 2x = 3x – 6

x² – 2x – 3x + 6 = 0

(x² – 2x) – (3x – 6) = 0

x(x – 2) – 3(x – 2) = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

• x – 2 = 0 suy ra x = 2.

• x – 3 = 0 suy ra x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2 và x = 3.

2. Phương trình chứa ẩn ở mẫu

2.1. Điều kiện xác định của một phương trình

Đối với phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta thường đặt điều kiện cho ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều khác 0 và gọi là điều kiện xác định (viết tắt là ĐKXĐ) của phương trình.

Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{5 x - 4}{x - 3} = 1;$

b) $\frac{x - 1}{x - 5} = \frac{1}{2 x + 3} - \frac{2}{5}$

Hướng dẫn giải

a) Vì x – 3 ≠ 0 hay x ≠ 3 nên ĐKXĐ của phương trình $\frac{5 x - 4}{x - 3} = 1$ là x ≠ 3.

b) Ta có x – 5 ≠ 0 khi x ≠ 5 và 2x + 3 ≠ 0 khi $x \neq \frac{- 3}{2}$ nên ĐKXĐ của phương trình $\frac{x - 1}{x - 5} = \frac{1}{2 x + 3} - \frac{2}{5}$ là x ≠ 5 và $x \neq \frac{- 3}{2}$ .

2.2. Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu

Bước 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2. Quy đồng mẫu thức hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

Bước 3. Giải phương trình vừa tìm được.

Bước 4 (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Ví dụ 4. Giải các phương trình:

a) $\frac{x - 4}{x + 1} + \frac{x}{2 x - 1} = 0;$

b) $\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} = \frac{4 - 6 x}{x^{2} - 4}$ .

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≠ –1 và $x \neq \frac{1}{2}$ .

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{x - 4}{x + 1} + \frac{x}{2 x - 1} = 0$

$\frac{(x - 4) (2 x - 1)}{(x + 1) (2 x - 1)} + \frac{x (x + 1)}{(x + 1) (2 x - 1)} = 0$

Suy ra (x – 4)(2x – 1) + x(x + 1) = 0

(2x² – 8x – x + 4) + (x² + x) = 4 – 6x

x² – 9x + 4 + x² + x = 4 – 6x

2x²– 8x + 4 = 4 – 6x

2x²– 8x + 6x = 4 – 4

2x²-2x = 0

2x(x – 1) = 0

2x = 0 hoặc x – 1 = 1

x = 0 (thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc x = 1(thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.

b) Điều kiện xác định: x ≠ 2 và x ≠ –2.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} = \frac{4 - 6 x}{x^{2} - 4}$

$\frac{x - 1}{x + 2} - \frac{x}{x - 2} = \frac{4 - 6 x}{(x - 2) (x + 2)}$

$\frac{(x - 1) (x - 2)}{(x - 2) (x + 2)} - \frac{x (x + 2)}{(x - 2) (x + 2)} = \frac{4 - 6 x}{(x - 2) (x + 2)}$

Suy ra (x – 1)(x – 2) – x(x + 2) = 4 – 6x

(x² – 3x + 2) – (x² + 2x) = 4 – 6x

x² – 3x + 2 – x² – 2x = 4 – 6x

–5x + 2 = 4 – 6x

6x - 5x = 4 - 2

x = 2 (không thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1. Nghiệm của phương trình (x + 3)(x - 1) = 0 là

A. x = 1;

B. x = -3;

C. x = 1; x = -3;

D. x = -1; x = -3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có (x + 3)(x - 1) = 0

Nên x + 3= 0 hoặc x - 1 = 0.

• x + 3 = 0 suy ra x = -3.

• x - 1 = 0 suy ra x = 1.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = -3 và x = 1.

Bài 2. Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{x - 2} = x$ là

A. x ≠ 2;

B. x ≠-2;

C. x ≠ 2 và x ≠ 1;

D. x ≠ 2 và x ≠ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{x - 2} = x$ là x - 2 ≠ 0 hay x ≠ 2.

Bài 3. Giải các phương trình:

a) 4x(x + 2) = 0;

b) (x – 7)(2x + 5) = 0;

c) x(3x + 5) – 9x – 15 = 0;

d) x² - 16 + 5x(x - 4) = 0.

Hướng dẫn giải

a) Ta có 5x(4x + 3) = 0

Nên 5x = 0 hoặc 4x + 3 = 0

• 5x = 0, suy ra x = 0.

• 4x + 3 = 0 hay 4x = –3, suy ra $x = - \frac{3}{4}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và $x = - \frac{3}{4}$

b) Ta có (x – 7)(2x + 5) = 0

Nên x – 7 = 0 hoặc 2x + 5 = 0.

• x – 7 = 0 suy ra x = 7.

• 2x + 5 = 0 hay 2x = –5, suy ra $x = - \frac{5}{2}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 7 và $x = - \frac{5}{2}$ .

c) Biến đổi phương trình đã cho về phương trình tích như sau:

x(3x + 5) – 9x – 15 = 0

x(3x + 5) – 3(3x + 5) = 0

(3x + 5)(x – 3) = 0

Ta giải hai phương trình sau:

• 3x + 5 = 0 hay 3x = -5 suy ra $x = \frac{- 5}{3}$ .

• x -3 = 0 suy ra x = 3.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x = \frac{- 5}{3}$ và x = 3.

Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau:

a) $\frac{2 x - 3}{4 x + 1} = 1;$

b) $\frac{x - 1}{3 x + 1} + \frac{x - 3}{2 x + 1} = \frac{1}{5} .$

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của phương trình là 4x +1 ≠ 0 hay $x \neq - \frac{1}{4}$ .

b) Ta có 3x + 1 ≠ 0 khi $x \neq - \frac{1}{3}$ và 2x –+1 ≠ 0 khi $x \neq - \frac{1}{2}$

Vậy điều kiện xác định của phương trình là $x \neq - \frac{1}{3}$ và $x \neq - \frac{1}{2}$ .

Bài 5. Giải các phương trình:

a) $\frac{2 x}{x + 2} - 2 = \frac{x}{x + 2}$ ;

b) $\frac{2}{x + 3} - \frac{3}{x - 2} = \frac{1 - 5 x}{(x + 3) (x - 2)}$ ;

c) $\frac{x - 5}{x + 1} + \frac{5}{x} = \frac{6}{x^{2} + x}$ .

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định: x ≠ –1 và $x \neq \frac{1}{2}$ .

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{2 x}{x + 2} - 2 = \frac{x}{x + 2}$

$\frac{2 x - 2 (x + 2)}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$

Suy ra 2x – 2(x + 2) = x

2x – 2x – 4 = x

x = -4 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = –4.

b) Điều kiện xác định: x ≠ –3 và x ≠ 2.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{2}{x + 3} - \frac{3}{x - 2} = \frac{1 - 5 x}{(x + 3) (x - 2)}$

$\frac{2 (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{3 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} = \frac{1 - 5 x}{(x + 3) (x - 2)}$

Suy ra 2(x – 2) – 3(x + 3) = 1 – 5x

2x – 4 – 3x – 9 = 1 – 5x

-x - 13 = 1 - 5x

-x + 5x = 1 + 13

4x = 14

$x = \frac{7}{2}$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là $x = \frac{7}{2}$

c) Điều kiện xác định: x ≠ 0 và x ≠ –1.

Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được

$\frac{x - 5}{x + 1} + \frac{5}{x} = \frac{6}{x^{2} + x}$

$\frac{x (x - 5)}{x (x + 1)} + \frac{5 (x + 1)}{x (x + 1)} = \frac{6}{x (x + 1)}$

$\frac{x^{2} - 5 x}{x (x + 1)} + \frac{5 x + 5}{x (x + 1)} = \frac{6}{x (x + 1)}$

$\frac{x^{2} + 5}{x (x + 1)} = \frac{6}{x (x + 1)}$

Suy ra x² + 5 = 6

x² = 1

x = ±1

Đối chiếu ĐKXĐ nên suy ra x = 1 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

Học tốt Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Các bài học để học tốt Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn Toán lớp 9 hay khác:

Giải sgk Toán 9 Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác