Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Với tóm tắt lý thuyết Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn

• Nếu a là một số và b là một số không âm thì $\sqrt{a^{2} . b} = |a| \sqrt{b} .$

Chú ý:

• Phép biến đổi trên gọi là phép đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

• Khi tính toán những căn thức bậc hai mà biểu thức dưới dấu căn có mẫu, ta thường khử mẫu của biểu thức lấy căn (tức là biến đổi căn thức bậc hai đó thành một biểu thức mà trong căn thức không còn mẫu).

Ví dụ: Khử mẫu của biểu thức lấy căn $\sqrt{\frac{9}{14}} .$

Hướng dẫn giải

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức lấy căn với 14 và đưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta được:

$\sqrt{\frac{9}{14}} = \sqrt{\frac{9.14}{14^{2}}} = \sqrt{{(\frac{3}{14})}^{2} .14} = \frac{3 \sqrt{14}}{14} .$

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

• Nếu a và b là hai số không âm thì $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b} .$

• Nếu a là số âm và b là số không âm thì $a \sqrt{b} = - \sqrt{a^{2} b} .$

Chú ý:

• Các phép biến đổi trên gọi là phép đưa thừa số vào trong dấu căn.

Ví dụ:

+ Ta có: $5 \sqrt{3} = \sqrt{5^{2} .3} = \sqrt{75} .$

+ Ta có: $- 3 \sqrt{a} = - \sqrt{3^{2} . a} = - \sqrt{9 a}$ với a ≥ 0.

3. Trục căn thức ở mẫu

• Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B} .$

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, A ≠ B², ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C (\sqrt{A} - B)}{A - B^{2}};$ $\frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}} .$

• Với các biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ 0, A ≠ B, ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B};$ $\frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B} .$

Ví dụ: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức $\frac{3}{4 \sqrt{6}} .$

Hướng dẫn giải

Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{6},$ ta được:

$\frac{3}{4 \sqrt{6}} = \frac{3 \sqrt{6}}{4 {(\sqrt{6})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{6}}{4.6} = \frac{3 \sqrt{6}}{24} = \frac{\sqrt{6}}{8} .$

4. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

• Khi rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần phối hợp các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia) và các phép biếu đổi đã học (đưa thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn; khử mẫu của biểu thức lấy căn; trục căn thức ở mẫu).

Ví dụ: Rút gọn biểu thức $B = \sqrt{5} - \sqrt{45} + \sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} :$

Hướng dẫn giải

Đưa thừa số ra ngoài dấu căn, ta có:

$\sqrt{45} = \sqrt{3^{2} .5} = 3 \sqrt{5};$

$\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} = (2 - \sqrt{5}) = \sqrt{5} - 2$ (do $2 - \sqrt{5} < 0$ )

Do đó $B = \sqrt{5} - 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} - 2 = - \sqrt{5} - 2.$

Bài tập Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

a) $\sqrt{48};$

b) $\sqrt{72 a}$ (a ≥ 0);

c) $\sqrt{4 \sqrt{7} - 8};$

d) $\sqrt{50 \sqrt{3} + 100} .$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 48 = 4².3 nên $\sqrt{48} = \sqrt{4^{2} .3} = 4 \sqrt{3} .$

b) Ta có: 72 = 6².2 nên $\sqrt{72 a} = \sqrt{6^{2} .2 a} = 6 \sqrt{2 a} .$

c) Ta có: $\sqrt{4 \sqrt{7} - 8} = \sqrt{4 (\sqrt{7} - 2)}$

$= \sqrt{2^{2} (\sqrt{7} - 2)} = 2 \sqrt{\sqrt{7} - 2} .$

d) Ta có: $\sqrt{50 \sqrt{3} + 100} = \sqrt{50 (\sqrt{3} + 2)}$

$= \sqrt{5^{2} .2 (\sqrt{3} + 2)} = 5 \sqrt{2 \sqrt{3} + 4} .$

Bài 2. Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $7 \sqrt{2};$

b) $- 3 \sqrt{5};$

c) $3 \sqrt{\frac{13}{9}};$

d) $- 4 \sqrt{\frac{13}{4} .}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $7 \sqrt{2} = \sqrt{7^{2} .2} = \sqrt{49.2} = \sqrt{98} .$

b) Ta có: $- 3 \sqrt{5} = - \sqrt{3^{2} .5} = - \sqrt{9.5} = - \sqrt{45} .$

c) Ta có: $3 \sqrt{\frac{13}{9}} = \sqrt{3^{2} . \frac{13}{9}} = \sqrt{9. \frac{13}{9}} = \sqrt{13} .$

d) Ta có: $- 4 \sqrt{\frac{13}{4}} = - \sqrt{4^{2} . \frac{13}{4}} = - \sqrt{13.4} = - \sqrt{52} .$

Bài 3. Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{7 + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}};$

b) $\frac{1}{\sqrt{6} - 3};$

c) $\frac{5 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}};$

d) $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} .$

Hướng dẫn giải

a) Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{3},$ ta được:

$\frac{7 + 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{7 \sqrt{3} + 2.3}{3} = \frac{7 \sqrt{3} + 6}{3} .$

b) Biểu thức liên hợp của mẫu là $\sqrt{6} + 3.$ Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{6} + 3,$ ta được:

$\frac{1}{\sqrt{6} - 3} = \frac{\sqrt{6} + 3}{(\sqrt{6} - 3) (\sqrt{6} + 3)} = \frac{\sqrt{6} + 3}{6 - 9} = - \frac{\sqrt{6} + 3}{3} .$

c) Biểu thức liên hợp của mẫu là $1 + \sqrt{5} .$ Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $1 + \sqrt{5},$ ta được:

$\frac{5 + \sqrt{5}}{1 - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} {(1 + \sqrt{5})}^{2}}{(1 - \sqrt{5}) (1 + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{5} (6 + 2 \sqrt{5})}{1 - 5} = - \frac{6 \sqrt{5} + 10}{4} = - \frac{3 \sqrt{5} + 5}{2} .$

d) Biểu thức liên hợp của mẫu là $\sqrt{2} - \sqrt{3} .$ Nhân cả tử và mẫu của biểu thức đã cho với $\sqrt{2} - \sqrt{3},$ ta được:

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{8} (\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3}) (\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{16} - \sqrt{24}}{2 - 3} = 2 \sqrt{6} - 4.$

Học tốt Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Các bài học để học tốt Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai Toán lớp 9 hay khác:

Giải sgk Toán 9 Bài 9: Biến đổi đơn giản và rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 9 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 Kết nối tri thức khác