Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải sgk Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA₁ ⊥ BC, từ A₁ kẻ A₁A₂ ⊥ AC, sau đó lại kẻ A₂A₃ ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA₁A₂A₃... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.

Bài 5.6 trang 109 Toán 11 Tập 1 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Lời giải:

Tam giác AA₁B vuông tại A₁ có AB = h và .

Do đó, AA₁ = AB sinB = h sin α.

Ta có: $\hat{B} + \hat{B A A_{1}} = 90 °$ và $\hat{A_{1} A A_{2}} + \hat{B A A_{1}} = 90 °$ , suy ra $\hat{A_{1} A A_{2}} = \hat{B} = α$ .

Tam giác AA₁A₂ vuông tại A₂ nên A₁A₂ = AA₁ sin $\hat{A_{1} A A_{2}}$ = h sin α . sin α = h sin² α.

Vì AB ⊥ AC và A₁A₂ ⊥ AC nên AB // A₁A₂, suy ra $\hat{A_{2} A_{1} A_{3}} = \hat{B} = α$ (2 góc đồng vị).

Tam giác A₁A₂A₃ vuông tại A₃ nên A₂A₃ = A₁A₂ . sin $\hat{A_{2} A_{1} A_{3}}$ = h sin² α . sin α = h sin³ α.

Vì AA₁ ⊥ BC và A₂A₃ ⊥ BC nên AA₁ // A₂A₃, suy ra $\hat{A_{3} A_{2} A_{4}} = \hat{A_{1} A A_{2}} = α$ .

Tam giác A₂A₃A₄ vuông tại A₄ nên A₃A₄ = A₂A₃ . sin $\hat{A_{3} A_{2} A_{4}}$ = h sin³ α . sin α = h sin⁴ α.

Cứ tiếp tục như vậy, ta xác định được A_{n – 1}A_n = h sinⁿ α.

Ta có: AA₁A₂A₃... = AA₁ + A₁A₂ + A₂A₃ + ... + A_{n – 1}A_n + ...

= h sin α + h sin² α + h sin³ α + ... + h sinⁿ α + ...

Vì góc B là góc nhọn nên sin B = sin α < 1, do đó |sin α| < 1.

Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn AA₁A₂A₃... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u₁= h sin α và công bội q = sin α.

Do đó, AA₁A₂A₃... = $\frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{h \sin α}{1 - \sin α}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số hay, chi tiết khác:

Các bài học để học tốt Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số:

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Kết nối tri thức khác