Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9)

Bài 4.69 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9).

a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D thẳng hàng.

b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vectơ $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C}$ có độ dài ngắn nhất.

Lời giải:

a) Giả sử D(a; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với B(5; 3), C(–2; 9) và D(a; 0) ta có:

• $\vec{B C}$ = (–7; 6)

• $\vec{B D}$ = (a – 5; –3)

Vì ba điểm B, C, D thẳng hàng nên ta có: $\vec{B C}$ và $\vec{B D}$ là hai vectơ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{a - 5}{- 7} = \frac{- 3}{6}$

$\Leftrightarrow \frac{a - 5}{- 7} = \frac{- 1}{2}$

$\Leftrightarrow$ 2(a – 5) = 7

$\Leftrightarrow$ a – 5 = $\frac{7}{2}$

$\Leftrightarrow$ a = $\frac{17}{2}$

Vậy $D (\frac{17}{2}; 0)$ là điểm cần tìm.

b) Ta có: A(2; −1), B(5; 3) là hai điểm nằm về hai phía của trục hoành

Do đó với mỗi điểm E nằm trên trục hoành ta luôn có EA + EB ≥ AB

Suy ra EA + EB ngắn nhất là bằng AB

Điều này xảy ra khi và chỉ khi E là giao điểm của AB và trục hoành Ox

$\Leftrightarrow$ 3 điểm A, E, B thẳng hàng

$\Leftrightarrow \vec{A B}$ và $\vec{A E}$ là hai vectơ cùng phương

Giả sử E(b; 0) là điểm thuộc trục hoành.

Với A(2; −1), B(5; 3) và E(b; 0) ta có:

• $\vec{A B}$ = (3; 4)

• $\vec{A E}$ = (b – 2; 1)

Khi đó $\vec{A B}$ và $\vec{A E}$ là hai vectơ cùng phương

$\Leftrightarrow \frac{b - 2}{3} = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow$ b – 2 = $\frac{3}{4}$

$\Leftrightarrow$ b = $\frac{11}{4}$

Vậy $E (\frac{11}{4}; 0)$ là điểm cần tìm.

c) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó với A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9) ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; −1), B(5; 3) và C(–2; 9)

Để vectơ $\vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F C}$ có độ dài ngắn nhất thì FG có độ dài ngắn nhất

Mà F là điểm nằm trên trục tung

Do đó F là hình chiếu vuông góc của G lên Oy.

$\Rightarrow$ Hoành độ của F là x = 0 và tung độ của F bằng với tung độ của G là y = $\frac{11}{3}$

Vậy $F (0; \frac{11}{3}) .$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác