Cho hình bình hành ABCD tâm O

Trang trước Trang sau

Bài 4.59 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác vecto 0 có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

a) Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ $\vec{A B};$ những vectơ cùng hướng với $\vec{A B} .$

b) Chứng minh rằng BI = IJ = JD.

Lời giải:

a) ABCD là hình bình hành có M, N lần lượt là trung điểm của BC, AD

Nên MN là đường trung bình của hình bình hành

$\Rightarrow$ MN // AB // DC và MN = AB = DC.

$\Rightarrow$ $\vec{A B} = \vec{D C} = \vec{M N}$

Vậy những vectơ bằng vectơ $\vec{A B}$ là: $\vec{A B}; \vec{D C}; \vec{M N} .$

Lại có O là tâm hình bình hành nên O là trung điểm của AC và BD

Do đó NO là đường trung bình của DADC

$\Rightarrow$ NO // DC

Chứng minh tương tự ta cũng có OM // DC

Do đó ba điểm M, O, N thẳng hàng.

Vậy những vectơ cùng hướng với $\vec{A B}$ là: $\vec{A B}, \vec{N O}, \vec{O M}, \vec{N M}, \vec{D C .}$

b) Xét tam giác ABC có: AM, BO là hai đường trung tuyến của tam giác

Mà AM cắt BO tại I

Do đó I là trọng tâm của DABC.

$\Rightarrow B I = \frac{2}{3} B O$ và $O I = \frac{1}{2} B I$ (tính chất trọng tâm) (1)

Tương tự ta cũng có J là trọng tâm của DADC.

$\Rightarrow D J = \frac{2}{3} D O$ và $O J = \frac{1}{2} D J$ (tính chất trọng tâm) (2)

Mặt khác BO = DO (do O là trung điểm của BD) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: BI = DJ và OI = OJ = $\frac{1}{2}$ BI = $\frac{1}{2}$ DJ

Mà IJ = IO + OJ = $\frac{1}{2}$ BI + $\frac{1}{2}$ BI = BI = DJ

Vậy BI = IJ = JD.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác