Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

Bài 4.68 trang 71 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Với A(–2; 1), B(1; 4) và C(5; −2) ta có:

$\vec{A B}$ = (3; 3) và $\vec{A C}$ = (7; –3)

Vì $\frac{3}{7} \neq \frac{3}{- 3} = - 1$ nên hai vectơ $\vec{A B}$ và $\vec{A C}$ không cùng phương

Do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng

Vậy A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G (\frac{4}{3}; 1)$ .

b) *Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC:

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên AH ⊥ BC và BH ⊥ AC

Hay $\vec{A H} . \vec{B C} = 0$ và $\vec{B H} . \vec{A C} = 0$

Giả sử H(x; y) là tọa độ trực tâm tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2) và H(x; y) ta có:

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

Trừ vế theo vế (2) cho (1) ta có: 5x = 2

$\Rightarrow$ x = $\frac{2}{5}$

Thay x = $\frac{2}{5}$ vào (1) ta được: 2. $\frac{2}{5}$ – 3y = –7

$\Rightarrow$ 3y = $\frac{39}{5}$

$\Rightarrow$ y = $\frac{13}{5}$

$\Rightarrow$ $H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5}) .$

Vậy tọa độ trực tâm của tam giác ABC là $H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5}) .$

* Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:

Theo kết quả phần a) của Bài 4.15, trang 54, Sách Bài tập, Toán 10, tập một ta có: $\vec{A H} = 2 \vec{I M}$

với M là trung điểm của BC.

Giả sử I(a; b) là tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Với A(–2; 1), B(1; 4), C(5; −2), $H (\frac{2}{5}; \frac{13}{5})$ và I(a; b) ta có:

• $\vec{A H} = (\frac{12}{5}; \frac{8}{5})$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

$\Rightarrow$ M(3; 1)

$\Rightarrow \vec{I M}$ = (3 – a; 1 – b)

$\Rightarrow 2 \vec{I M}$ = (6 – 2a; 2 – 2b)

Ta có $\vec{A H} = 2 \vec{I M}$

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm

Vậy tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $I (\frac{9}{5}; \frac{1}{5}) .$

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác