Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1

Trang trước Trang sau

Bài 4.56 trang 69 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM ⊥ NP. Tỉ số của $\frac{A P}{A B}$ bằng

A. $\frac{5}{12};$

B. $\frac{7}{12};$

C. $\frac{5}{7};$

D. $\frac{7}{5} .$

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Giả sử $\frac{A P}{A B} = x$ (x > 0)

Ta có:

• Ta có: MB = 2MC nên M nằm giữa B và C

$\Rightarrow \frac{B M}{M C} = \frac{2}{1} \Rightarrow \frac{B M}{B M + M C} = \frac{2}{2 + 1}$

Hay $\frac{B M}{B C} = \frac{2}{3} \Rightarrow B M = \frac{2}{3} B C$

Do đó $\vec{B M} = \frac{2}{3} \vec{B C}$

Tương tự ta cũng có $\vec{A P} = x \vec{A B}$ và $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C .}$

• $\vec{A M} = \vec{A B} + \vec{B M}$

$= \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{B C}$

$= \vec{A B} + \frac{2}{3} (\vec{A C} - \vec{A B})$

$= \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C} - \frac{2}{3} \vec{A B}$

$= \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$

• $\vec{N P} = \vec{A P} - \vec{A N} = \vec{A P} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

$= x . \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

Mặt khác ta có: AM ⊥ NP

$\Leftrightarrow \vec{A M} ⊥ \vec{N P}$

$\Leftrightarrow \vec{A M} . \vec{N P} = 0$

$\Leftrightarrow (\frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}) (x . \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3} x . A B^{2} - \frac{1}{9} . \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{2}{3} x \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{2}{9} . A C^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{1}{3} x . A B^{2} - \frac{1}{9} . \vec{A B} . \vec{A C} + \frac{2}{3} x \vec{A B} . \vec{A C} - \frac{2}{9} . A C^{2} = 0$ (1)

Tam giác ABC đều có độ dài cạnh bằng 1 nên AB = AC = BC = 1 và $\hat{B A C} = 60 ° .$

Ta có: $\vec{A B} . \vec{A C} = A B . A C . c o s \hat{B A C}$

= 1.1.cos60° = $\frac{1}{2} .$

Khi đó:

(1) $\Leftrightarrow \frac{1}{3} . x {.1}^{2} - \frac{1}{9} . \frac{1}{2} + \frac{2}{3} . x . \frac{1}{2} - \frac{2}{9} {.1}^{2} = 0$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} x = \frac{5}{18}$

$\Leftrightarrow x = \frac{5}{18} : \frac{2}{3} = \frac{5}{12}$ (thỏa mãn)

Vậy $\frac{A P}{A B} = \frac{5}{12} .$

Ta chọn phương án A.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 10 sách Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 Kết nối tri thức khác