Giải bài 8 trang 100 sgk Hình học 12

Bài 8 (trang 100 SGK Hình học 12): Trong không gian Oxyz cho các điểm A(1; 0; –1), B(3; 4; –2), C(4; –1; 1), D(3; 0; 3).

a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC) và tính khoảng cách từ D đến (ABC).

c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

d) Tính thể tích tứ diện ABCD.

Lời giải:

a) Mặt phẳng (ABC) có VTPT $\vec{n}$ vuông góc với hai vectơ :

Giải bài 8 trang 100 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Phương trình mặt phẳng (ABC) là:

1.( x – 1) – 1.(y – 0) – 2.(z+ 1) = 0 hay x – y – 2z – 3 = 0

Thay tọa độ điểm D vào mp(ABC) ta được:

3 – 0 – 2. 3 – 3 = – 6 ≠ 0

Suy ra: điểm D không thuộc mp(ABC) hay 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

b) Ta có:

d(D; (ABC)) = $\frac{|3 - 0 - 2.3 - 3|}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 2)}^{2}}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$

c) Ta có:

$\vec{AB}$ = (2; 4; -1); $\vec{AD}$ = (2; 0; 4); $\vec{CB}$ = (-1; 5; -3); $\vec{CD}$ = (-1; 1; 2)

=> $\vec{AB}$ . $\vec{AD}$ = 2.2 + 4.0 + (-1).4 = 0

$\vec{CB}$ . $\vec{CD}$ = -1.(-1) + 5.1 + (-3).2 = 0

=> AB ⊥ AD; CB ⊥ CD

Vậy hai tam giác ABD và CBD lần lượt vuông tại A và C.

Gọi M là trung điểm của BD.

Suy ra: MA = MC = MB = MD = $\frac{B D}{2}$ .

Do đó, M là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Ta có: M (3; 2; $\frac{1}{2}$ ) (do M là trung điểm của BD) và bán kính R = $\frac{B D}{2}$ = $\frac{\sqrt{{(3 - 3)}^{2} + {(0 - 4)}^{2} + {(3 + 2)}^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{41}}{2}$

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

${(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{41}{4}$

d) Ta có: V_ABCD = $\frac{1}{3}$ S_ABC.DH

Trong đó;

Hay tam giác ABC vuông tại A.

Các bài giải bài tập Hình học 12 Ôn tập cuối năm Hình học 12 khác :

Các bài giải Hình học 12 Chương 3 khác:

Trang trước

Trang sau

on-tap-cuoi-nam-hinh-hoc-12.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác