Giải bài 16 trang 102 sgk Hình học 12

Bài 16 (trang 102 SGK Hình học 12): Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α) có phương trình 4x + y + 2z + 1 = 0 và mặt phẳng (β) có phương trình 2x – 2y + z + 3 = 0.

a) Chứng minh rằng (α) cắt (β).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng d là giao của (α) và (β).

c) Tìm điểm M' đối xứng với điểm M(4; 2; 1) qua mặt phẳng (α).

d) Tìm điểm N' đối xứng với điểm N(0; 2; 4) qua đường thẳng d.

Lời giải:

a) Hai mp(α) và (β) có VTPT lần lượt là $\vec{n_{1}}$ = (4; 1; 2); $\vec{n_{2}}$ = (2; -2; 1)

Ta có: $\frac{4}{2} \neq \frac{1}{- 2} \neq \frac{2}{1}$ nên hai vectơ trên không cùng phương.

Suy ra, hai mặt phẳng đã cho cắt nhau.

b) Gọi d là giao tuyến của hai mp(α) và (β).

Gọi VTCP của d là $\vec{u}$

Ta có: $\vec{u} ⊥ \vec{n_{1}}; \vec{u} ⊥ \vec{n_{2}} \Rightarrow \vec{u} = [\vec{n_{1}}; \vec{n_{2}}]$ = (5; 0; -10) = 5(1; 0; -2)

Lại có điểm A(0; 1; –1) thuộc d (do A vừa thuộc (α) vừa thuộc (β)) nên phương trình của d là:

$\{\begin{matrix} x = t \\ y = 1 \\ z = - 1 - 2 t \end{matrix}$

c) Có M’ đối xứng với M qua mp(α), gọi đường thẳng MM’ cắt mp(α) tại điểm H

Khi đó, H là trung điểm của MM’ và VTPT của mp(α) là VTCP của đường thẳng MM’.

Phương trình đường thẳng MM’ là: $\{\begin{matrix} x = 4 + 4 t \\ y = 2 + t \\ z = 1 + 2 t \end{matrix}$

Trung điểm H thuộc đường thẳng MM’ nên tọa độ điểm H(4 + 4t; 2 + t; 1 + 2t).

Lại có, điểm H thuộc mp(α) nên thay tọa độ điểm H vào phương trình mp(α) ta được:

4.(4 + 4t) + (2 + t) + 2. (1 + 2t) + 1 = 0

⇔ 21t + 21 = 0 nên t = –1.

Suy ra, tọa độ điểm H(0; 1; –1)

Vì H là trung điểm của MM’ nên tọa độ M’ là:

Giải bài 16 trang 102 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

d) Đường thẳng d có VTCP là $\vec{u}$ = (1; 0; -2).

Lấy điểm K(t; 1; –1 – 2t) thuộc đường thẳng d.

Ta có: $\vec{NK}$ = (t; -1; -2t - 5)

Vì K là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng d nên:

Suy ra: 1.t – 0.1 – 2.(– 2t – 5) = 0

⇔ t + 4t + 10 = 0

⇔ 5t + 10 = 0 nên t = –2.

Vậy K(– 2; 1; 3).

Vì N’ đối xứng với N qua đường thẳng d nên K là trung điểm của NN’.

Suy ra tọa độ điểm N’ là Giải bài 16 trang 102 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12 .

Các bài giải bài tập Hình học 12 Ôn tập cuối năm Hình học 12 khác :

Các bài giải Hình học 12 Chương 3 khác:

Trang trước

Trang sau

on-tap-cuoi-nam-hinh-hoc-12.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác