Giải bài 4 trang 99 sgk Hình học 12

Bài 4 (trang 99 SGK Hình học 12): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình:

$\{\begin{matrix} x = - 1 + 3 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 2 + 2 t \end{matrix}$

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Tìm điểm I trên d sao cho AI + BI nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Đường thẳng d có VTCP $\vec{u}$ = (3; -2; 2)

Lại có: $\vec{AB}$ = (6; -4; 4) => $\vec{AB}$ = 2 $\vec{u}$

Lại có: A ∈ AB; A $\notin$ d

Suy ra: AB // d.

Suy ra, hai đường thẳng AB và d cùng nằm trên một mặt phẳng.

b) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d.

Với mọi điểm I thuộc d ta có:

AI + BI = A’I + BI ≥ A’B

Do đó, A’I + BI nhỏ nhất bằng A’B. Khi đó: A’I + BI = A’B

Suy ra: A’ ; I; B thẳng hàng.

Suy ra, I là giao điểm của A’B và d.

Gọi M là trung điểm của AB thì M(4; 0; 1).

Suy ra: MI là đường trung bình của tam giác AA’B.

Suy ra: MI // AA’

Suy ra: MI ⊥ d.

Do đó $\vec{MI}$ . $\vec{a}$ = 0 (1) trong đó;

Điểm I thuộc d nên I(– 1 + 3t; 2 – 2t; 2 + 2t);

$\vec{MI}$ = (3t - 5; 2 - 2t; 2t + 1); $\vec{a}$ = (3; -2; 2)

Thay vào (1) ta được:

3.(3t – 5) – 2.(2– 2t) + 2.(2 t + 1) = 0

⇔ 9t – 15 – 4 + 4t + 4t + 2 = 0

⇔ 17t – 17 = 0 nên t = 1.

Khi đó, I(2; 0; 4).

Vậy để AI + BI nhỏ nhất thì I(2; 0; 4).

Các bài giải bài tập Hình học 12 Ôn tập cuối năm Hình học 12 khác :

Các bài giải Hình học 12 Chương 3 khác:

on-tap-cuoi-nam-hinh-hoc-12.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác