Giải bài 2 trang 99 sgk Hình học 12

Bài 2 (trang 99 SGK Hình học 12): Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B'C' và C'D'. Mặt phẳng (AEF) chia khối lập phương đó thành hai khối đa diện (H) và (H') trong đó (H) là khối đa diện chứa đỉnh A'. Tính thể tích của (H).

Lời giải:

Giải bài 2 trang 99 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với đường thẳng A’B’ và A’D’.

Q là giao điểm của AM và BB’.

P là giao điểm của AN và DD’.

Ta có: mp(AEF) cắt hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo thiết diện là ngũ giác AQEFP.

* Tam giác D’FN vuông cân tại D’ và D'F = $\frac{a}{2}$ => D'N = $\frac{a}{2}$ => A'N = $\frac{3a}{2}$

Tương tự; B'M = $\frac{a}{2}$ => A'M = $\frac{3a}{2}$

Tam giác AA’M có B’Q // AA’ nên:

$\frac{B' Q}{A A'} = \frac{M B'}{M A'} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{3 a}{2}} = \frac{1}{3} \Rightarrow B' Q = \frac{A A'}{3} = \frac{a}{3}$

Tương tự, PD' = $\frac{a}{3}$

Gọi V = V_{ABCD.A’B’C’D’} = a³

V₁ = V_ABCD.QECFD ; V₂ = V_{AQEFP.B’A’D’}

V₃ = V_A.MA’N; V₄ = V_PFDN; V₅ = V_QMBE

Ta có: V₄ = V₅

$\begin{array}{l} V_{3} = \frac{1}{6} A A ' . A' M . A' N = \frac{1}{6} . a . \frac{3 a}{2} . \frac{3 a}{2} = \frac{3 a^{3}}{8} \\ V_{4} = \frac{1}{6} P D' . D' F . D' N = \frac{1}{6} . \frac{a}{3} . \frac{a}{2} . \frac{a}{2} = \frac{a^{3}}{72} \\ V_{2} = V_{3} - (V_{4} + V_{5}) = V_{3} - 2 V_{4} = \frac{3 a^{3}}{8} - 2. \frac{a^{3}}{72} = \frac{25 a^{3}}{72} \end{array}$

Vậy mp(AEF) chia khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ thành hai khối đa diện và chứa đỉnh A’ có thể tích là V₂ = V_AQEFP.A'B'D' = $\frac{25 a^{3}}{72}$ .

Các bài giải bài tập Hình học 12 Ôn tập cuối năm Hình học 12 khác :

Các bài giải Hình học 12 Chương 3 khác:

Trang trước

Trang sau

on-tap-cuoi-nam-hinh-hoc-12.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác