Giải Toán 9 VNEN Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn

- Hiểu được vị trí tương đối giữa hai đường tròn, mối liên hệ giữa vị trí tương đối của hai đường tròn với số điểm chung, hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính của hai đường tròn.

- Xác định số tiếp tuyến chung của hai đường tròn qua các hình minh họa

- Vận dụng các tính chất đường nối tâm của cả hai đường tròn, tính chất đã học để giải một số bài toán thực tế.

Bài toán 1. Em hãy dự đoán xem giữa hai đường tròn có mấy điểm chung? Liệu có quá hai điểm chung được không? (h.115)

Trả lời:

Giữa hai đường tròn có hai điểm chung. Giữa hai đường tròn không thể có quá hai điểm chung được.

Bài toán 2. Ta gọi hai đường tròn không trùng nhau là hai đường tròn phân biệt. Giữa hai đường tròn có quá hai điểm chung không? Vì sao?

Điền vào chỗ chấm (…)

- Giả sử giữa hai đường tròn (O) và (O’) có ba điểm chung A, B, C không thẳng hàng (h.116)

Vì qua ba điểm không thẳng hàng ta xác định được ……… đường tròn.

Suy ra đường tròn (O) ……… (O’)

Vậy giữa hai đường tròn (O) và (O’) chỉ có nhiều nhất ….. điểm chung.

Trả lời:

- Giả sử hai đường tròn (O) và (O') có ba điểm chung A, B, C không thẳng hàng (h.116).

Vì qua ba điểm không thẳng hàng ta xác định được chỉ một và một đường tròn.

Suy ra đường tròn (O) trùng (O').

Vậy giữa hai đường tròn (O) và (O') chỉ có nhiều nhất hai điểm chung.

* Ghi nhớ: Người ta dựa vào số điểm chung của hai đường tròn để xét các vị trí tương đối của chúng.

Đọc kĩ nội dung sau:

1. Thực hiện các hoạt động sau

Hình vẽ	Số điểm chung	Tên gọi	Ghi nhớ
	2	Hai đường tròn cắt nhau	A, B:Là hai giao điểm.
			AB: Dây chung
	1	Hai đường tròn tiếp xúc nhau:	A: Tiếp điểm
		Tiếp xúc ngoài
		Tiếp xúc trong
	0	Hai đường tròn không giao nhau
		Ở ngoài nhau
		(O) đựng (O’)

2. Thực hiện các hoạt động sau

* Đoạn thẳng OO’ được gọi là đoạn nối tâm. Đường thẳng OO’ được gọi là đường nối tâm.

a) Quan sát các hình (1); (2); (3); (4); (5) ở bảng trên và giải thích vì sao đường nối tâm là trục đối xứng của hình bao gồm cả hai đường tròn đó.

b) Trong hình (1) ở bảng trên hãy chứng tỏ OO’ là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

c) Trong hình (2) và (3) ở bảng trên hãy dự đoán về vị trí của điểm A với đường nối tâm OO’.

Trả lời:

a) Vì đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn nên đường nối tâm là trục đối xứng của hình bao gồm cả hai hình đó

b) Ta có: OA = OB, O'A = O'B nên A, B cách đều OO' hay OO' là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

c) Dự đoán là A nằm trên đường nối tâm OO' là A là tiếp điểm của hai đường tròn.

d) Đọc kĩ nội dung sau

* Đường kính là trục đối xứng của mỗi đường tròn nên đường nối tâm là trục đối xứng của hình gồm hai đường tròn đó.

* Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm hay đường nối tâm là đường trung trực của dây chung

* Nếu hai đường tròn tiếp xúc với nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

e) Cho hình 117:

i) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).

ii) Chứng minh BC // OO’ và ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Hướng dẫn câu ii)

Nối AB, BD

+ Do (O) cắt (O’) tại A và B nên theo tính chất đường nối tâm, ta có OO’ là đường trung trực của AB ⇒ AB ⊥ OO’ (1)

Mặt khác, ΔABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AC, nên tam giác ABC vuông tại B ⇒ AB ⊥ CB (2)

Từ (1) và (2) ⇒ BC // OO’(cùng vuông góc với AB)

+ Chứng minh tương tự, ta có AB ⊥ BD (3)

Từ (20 và (3) ⇒ B, C, D thẳng hàng

Hãy trình bày lời giải theo cách khác

2.1 Hệ thức giữa đoạn nối tâm và các bán kính

Xét đường tròn (O; R) và (O’; r) (R > r)

a) Hai đường tròn cắt nhau

- Cho (O) và (O’) như hình 118. Hãy so sánh OO’ với tổng và hiệu hai bán kính của hai đường tròn đó. Giải thích vì sao?

Hướng dẫn: Trên hình 118: ΔAOO', có OA – O’A < OO’ < OA + O’A (bất đẳng thức tam giác)

Vậy R – r < OO’ < R + r

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Hình 119, hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, khi đó A nằm giữa O và O’.

Hình 120, hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc trong với nhau tại A, khi đó điểm O’ nằm giữa O và A.

? Em hãy so sánh OO’ với tổng hai bán kính của hai đường tròn ở hình 119.

? Em hãy so sánh OO’ với hiệu hai bán kính của hai đường tròn ở hình 120.

Trả lời:

* Trên hình 119:

OO' = OA + O'A = R + r

Vậy OO' bằng tổng hai bán kính của hai đường tròn.

* Trên hình 120:

OO' = OA - O'A = R - r

Vậy OO' bằng hiệu hai bán kính của hai đường tròn.

c) Hai đường tròn không giao nhau

* Ở các hình 121 và 122, hai đường tròn (O) và (O’) không giao nhau. Trên hình 121 hai đường tròn ở ngoài nhau. Trên hình 122, đường tròn (O) đựng đường tròn (O’), trường hợp đặc biệt khi hai tâm trùng nhau ta có hai đường tròn đồng tâm.

* Khi đó chứng minh được khẳng định sau

Nếu hai đường tròn (O) và (O’) ở ngoài nhau thì OO’ > R + r.

Nếu đường tròn (O) đựng đường tròn (O’) thì OO’ < R – r

Với những kết luận được khẳng định của các mục a, b, c ở trên và người ta đã chứng minh được điều đả lại của các khẳng định đó, ta có bảng sau:

Vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O’; r) (R ≥ r) Số điểm chung Hệ thức liên hệ giữa OO’ với R và r
Hai đường tròn cắt nhau.	2	R – r < OO’ < R + r
Hai đường tròn tiếp xúc nhau:	1	OO’ = R + r
- Tiếp xúc ngoài.		OO’ = R – r
- Tiếp xúc trong
Hai đường tròn không giao nhau	0	OO’ > R + r
- (O) và (O’) ở ngoài nhau.		OO’ < R – r
- (O) đựng (O’).

2.2. Tiếp tuyến chung của hai đường tròn

a) Đọc kĩ nội dung sau

- Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai đường tròn đó.

- Ở hình 123, đường thẳng d và d’ là hai tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn (O) và (O’) (tiếp tuyến chung ngoài không cắt đoạn nối tâm).

- Ở hình 124, các đường thẳng a và a’ là hai tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (O) và (O’) (tiếp tuyến chung trong cắt đoạn nối tâm).

b) Quan sát hình 125 và cho biết hình nào vẽ được tiếp tuyến chung, đọc tên các tiếp tuyến chung đó.

Trả lời:

Hình 1 có hai tiếp tuyến chung là b và b'

Hình 2 có 3 tiếp tuyến chung là p, m, n

Hình 3 có 1 tiếp tuyến chung là d

Hình 4 không vẽ được tiếp tuyến chung.

c) Trong thực tế, ta thường gặp những hình ảnh liên quan đến vị trí tương đối của hai đường tròn như những hình 126:

Bài tập 1. Trên hình 127, hai đường tròn tiếp xúc tại A.

Chứng minh rằng ΔOAC đồng dạng với ΔO'AD

Lời giải:

ΔOAC có OA = OC nên ΔOAC cân tại O

ΔO'AD có O'A = O'D nên ΔO'AD cân tại O

Mặt khác ∠(OAC) = ∠(O'AD) (đối đỉnh) ⇒ ∠(AOC) = ∠(AO'D)

ΔOAC và Δ O'AD có: ∠(AOC) = ∠(AO'D) và nên ΔOAC đồng dạng với Δ O'AD (đpcm).

Bài tập 2. Điền vào các ô trống trong bảng, biết rằng hai đường tròn (O; 5cm) và (O’; 2cm) có OO’ = d.

Vị trí tương đối của hai đường tròn	Số điểm chung	d (cm)
(O) đựng (O’)
		d > 7
Tiếp xúc ngoài
		d =3
	2

Lời giải:

Vị trí tương đối của hai đường tròn	Số điểm chung	d (cm)
(O) đựng (O’)	0	d < 3
Ở ngoài nhau	0	d > 7
Tiếp xúc ngoài	1	d = 7
Tiếp xúc trong	1	d = 3
Cắt nhau	2	3 < d < 7

Bài tập 3. Cho đường tròn tâm O bán kính OA và O’ là trung điểm của OA. Vẽ đường tròn (O’; O’A)

a) Hãy xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).

b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C. Chứng minh rằng OD // O’C.

Gợi ý. a) Vì O’ là trung điểm của OA nên OO’ = OA – O’A nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại A.

b) Ta chứng minh ∠(O'CA) = ∠(ODA).

Lời giải:

a) Vì O' là trung điểm của OA nên OO' = OA - OA' nên hai đường tròn tiếp xúc trong tại A.

b) ΔO'AC có O'A = O'C nên ΔO'AC cân ⇒ ∠(O'CA) = ∠(O'AC)

ΔOAD có OA = OD nên ΔOAD cân ⇒ ∠(ODA) = ∠(O'AC)

Mặt khác ∠(O'AC) = ∠(O'AC) nên ∠(O'CA) = ∠(ODA) hay OD // O'C (đpcm).

Bài tập 1. Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC, B ∈ (O), C ∈ (O’). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt tiếp tuyến chung ngoài BC ở I.

a) Chứng minh rằng ΔABC vuông tại A

b) Chứng minh rằng I nằm trên đường tròn đường kính OO’.

c) Tính diện tích tứ giác BCO’O, biết OA = 4cm, O’A = 1cm.

Lời giải:

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

AB là phân giác góc ∠(OAI), AC là phân giác góc ∠(O'AI)

Mặt khác ∠(OAI) + ∠(O'AI) = 180^o ⇒ ∠(BAI) + ∠(CAI) = 90^o hay ∠(BAC) = 90^o

⇒ ΔABC vuông tại A (đpcm).

b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

IO là phân giác góc ∠(AIB), IO' là phân giác góc ∠(AIC)

Mặt khác ∠(AIB) + ∠(AIC) = 1800 ⇒ ∠(AIO) + ∠(AIO') = 90^o ⇒ ∠(OIO') = 90^o

Hay I nằm trên đường tròn đường kính OO' (đpcm).

c) Ta có: OB ⊥ BC, O'C ⊥ BC

Diện tích tứ giác BCO'O là:

Ta có: IB = IC = IA ⇒ BC = IB + IC = 2IA

Bài tập 2. Đố: Trên các hình 128a, 128b, 128c, các bánh xe tròn có răng cưa được khớp với nhau. Trên hình nào hệ thống bánh răng chuyển động được? Trên hình nào hệ thống bánh răng không chuyển động được?

Lời giải:

Trong hệ thống các bánh xe răng cưa thì hai bánh xe răng cưa tiếp xúc ngoài chuyển động ngược chiều nhau, hai bánh răng cưa tiếp xúc trong chuyển động cùng chiều nhau. Vì vậy hệ thống bánh răng ở hình 128a, hình 128b chuyển động được. Hệ thống bánh răng ở hình 128c không chuyển động được.

Bài tập 3. Vẽ chắp nối trơn

Trên hình 129, ta có đoạn thẳng AB và cung BC của đường tròn tâm O, đoạn thẳng AB tiếp xúc với cung BC (vì AB ⊥ BO). Tại B, đường đi ABC “trơn” chứ không “gãy” (còn trên hình 130: đoạn thẳng MN không tiếp xúc với cung NP, đường đi MNP bị “gãy” tại N). Ta nói đoạn thẳng AB được vẽ chắp nối trơn với cung BC.

Trên hình 131, cung AB của đường tròn tâm O tiếp xúc với cung BC của đường tròn tâm O’ (vì các tiếp tuyến tại B của các đường tròn đó trùng nhau, khi đó ba điểm O, O’, B thẳng hàng). Tại B, đường đi ABC cũng “trơn” chứ không :gãy” (còn trên hình 132: cung MN không tiếp xúc với cung NP, đường đi MNP bị “gãy” tại N). Ta nói cung AB được vẽ chắp nối trơn với cung BC.

Trong kĩ thuật, nhiều khi ta phải vẽ chắp nối trơn một cung với một đoạn thẳng hoặc vẽ chắp nối trơn hai cung với nhau. Các thanh đường ray xe lửa được chắp nối trơn với nhau khi xe lửa đổi hướng từ đường thẳng sang đường cong (hình 129) hoặc từ đường cong này sang đường cong khác (hình 131).

Bài tập 4. Em hãy tập vẽ chắp nối trơn để được các hình sau:

a) Hình “quả trứng”

Hình “quả trứng” (hình 133) được tạo bởi bốn cung vẽ chắp nối trơn: nửa đường tròn ACB có đường kính AB, cung BE có tâm A, cung EF có tâm D, cung FA có tâm B (tâm của cung là tâm của đường tròn chứa cung đó).

b) Hình “trái xoan”

Hình “trái xoan” (hình 134) được tạo bởi bốn cung vẽ chắp nối trơn: cung BC có tâm A, cung CE có tâm K, cung EF có tâm D, cung FB có tâm I (các tam giác ABC và DEF là các tam giác đều; D, I, K là trung điểm các cạnh của tam giác ABC).

(Nguồn: Có thể em chưa biết, sách giáo khoa Toán 9, tập 1 – NXB Giáo dục Việt Nam 2016)

Xem thêm các bài Giải bài tập Toán lớp 9 chương trình VNEN hay khác:

• Bài 5: Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
• Bài 6: Luyện tập (chương II)
• Bài 7: Vị trí tương đối của hai đường tròn
• Bài 8: Luyện tập
• Bài 9: Ôn tập chương II

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

• Giải sách bài tập Toán 9
• Chuyên đề Toán 9 (có đáp án - cực hay)
• Lý thuyết & 500 Bài tập Toán 9 (có đáp án)
• Các dạng bài tập Toán 9 cực hay
• Đề thi Toán 9
• Đề thi vào 10 môn Toán

---