Chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh các điểm cùng nằm trên một đường tròn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn.

1. Phương pháp giải

• Trong mặt phẳng, đường tròn tâm O bán kính R (với R > 0) là tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng R, kí hiệu là (O; R)

Chú ý:

- Một đường tròn hoàn toàn được xác định khi biết tâm và bán kính.

- Khi không chú ý đến bán kính của đường tròn (O; R), ta cũng có thể kí hiệu đường tròn.

Nhận xét:

Vị trí dương đối của một điểm đối với đường tròn

- Điểm M nằm trên đường tròn (O) nếu OM = R.

- Điểm M nằm trên đường tròn (O) nếu OM < R.

- Điểm M nằm ngoài đường tròn (O) nếu OM > R.

• Để chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên một đường tròn, ta làm như sau:

Cách 1. Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều một điểm cho trước nào đó.

Cách 2. Nếu $\widehat{BAC}=90°$ thì A thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét tam giác vuông ABC, có AO là đường trung tuyến nên AO = $\frac{1}{2}$BC suy ra AO = OB = OC.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, BC = b. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có:

OA = OB = OC = OD = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$BD.

Do đó, bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn $\left(O;\frac{1}{2}AC\right)$.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Trên cạnh AC lấy điểm M. Kẻ tia Cx vuông góc với tia BM tại F. Chứng minh rằng năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Gọi O là trung điểm của BC.

Ta có: BD là đường cao nên BD ⊥ AC, hay tam giác BDC vuông tại D.

Trong tam giác vuông BDC có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên

OD = OB = OC = $\frac{1}{2}$BC (1).

Tương tự, ta có: OE = OB = OC = $\frac{1}{2}$BC  (2) và OF = OB = OC = $\frac{1}{2}$BC  (3).

Do đó, năm điểm B, C, D, E, F cùng thuộc một đường tròn (O; R) với R = $\frac{1}{2}$BC.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn và xác định tâm đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Gọi O là trung điểm BC.

Xét tam giác vuông ABC, có AO là trung tuyến nên AO = $\frac{1}{2}$BC.

Suy ra OA = OB = OC.

Do đó ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn tâm O bán kính $\frac{1}{2}$BC.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường tròn (O; R) và điểm M bất kì, biết rằng OM = R. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định dưới đây?

A. Điểm M nằm ngoài đường tròn.

B. Điểm M nằm trên đường tròn.

C. Điểm M nằm trong đường tròn.

D. Điểm M không thuộc đường tròn.

Hướng đẫn giải

Đáp án đúng là: B

Do OM = R nên điểm M nằm trên đường tròn.

Bài 2. Cho đường tròn (O; R) và điểm M bất kì, biết rằng OM > R. Chọn khẳng định đúng.

A. Điểm M nằm ngoài đường tròn.

B. Điểm M nằm trên đường tròn.

C. Điểm M nằm trong đường tròn.

D. Điểm M không thuộc đường tròn.

Hướng đẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì OM > R nên M nằm bên ngoài đường tròn.

Bài 3. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông ABCD.

A. Tâm là giao điểm A và bán kính R = $a\sqrt{2}$.

B. Tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính R = $a\sqrt{2}$.

C. Tâm là giao điểm của hai đường chéo và bán kính R = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

D. Tâm là điểm B và bán kính R = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD.

Khi đó theo tính chất của hình vuông, ta có: OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn đi qua bốn đỉnh của hình vuông ABCD, với bán kính R = OA = $\frac{AC}{2}$.

Xét tam giác ABC vuông cân tại B ta có:

AC² = AB² + BC²

Suy ra AC = $a\sqrt{2}$ hay R = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Bài 4. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là:

A. Trung điểm cạnh huyền.

B. Trung điểm cạnh góc vuông lớn hơn.

C. Giao ba đường cao.

D. Giao ba đường trung tuyến.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong tam giác vuông trung điểm cạnh huyền là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.

Bài 5. Cho tam giác ABC có các đường cao BD, CE. Biết rằng bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn. Chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.

A. Tâm là trong tâm của tam giác ABC và bán kính R = $\frac{2}{3}$AI với I là trung điểm của BC.

B. Tâm là trung điểm AB và bán kính là R = $\frac{AB}{2}$.

C. Tâm là giao điểm của BD và EC, bán kính là R = $\frac{BD}{2}$.

D. Tâm là trung điểm của BC và bán kính là R = $\frac{BC}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét tam giác BEC vuông tại E có EI = IB = IC = $\frac{BC}{2}$ (vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét tma giác BCD vuông tại D có DI = IB = IC = $\frac{BC}{2}$ (vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Từ đó ta có: ID = IE = IB = IC = $\frac{BC}{2}$ nên I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DEBC và bán kính R = $\frac{BC}{2}$.

Bài 6. Cho tam giác ABC có các đường cao BD, CE. Chọn khẳng định đúng

A. Bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn.

B. Năm điểm A, B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn.

C. Cả A, B đều sai.

D. Cả A, B đều đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi I là trung điểm của BC.

Xét tam giác BEC vuông tại E có EI = IB = IC = $\frac{BC}{2}$ (vì EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Xét tam giác BDC vuông tại D có DI = IB = IC = $\frac{BC}{2}$ (vì DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

Từ đó ta có: ID = IE = IB = IC = $\frac{BC}{2}$ nên bốn điểm B, E, D, C nằm trên một đường tròn có bán kính R = $\frac{BC}{2}$.

Ta thấy IA > ID nên điểm A không thuộc  đường tròn trên.

Bài 7. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định vị trí tương đối của A(−1; −1) và đường tròn tâm là gốc tọa độ O, bán kính R = 2.

A. Điểm A nằm ngoài đường tròn.

B. Điểm A nằm trên đường tròn.

C. Điểm A nằm trong đường tròn.

D. Không kết luận được.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: OA = $\sqrt{{\left(-1-0\right)}^2+{\left(-1-0\right)}^2}=\sqrt{2}=2$ = R nên A nằm trong đường tròn tâm O bán kính R = 2.

Bài 8. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, xác định vị trí tương đối của điểm A(−3; −4) và đường tròn là gốc tọa độ O, bán kính R = 3.

A. Điểm A nằm ngoài đường tròn.

B. Điểm A nằm trên đường tròn.

C. Điểm A nằm trong đường tròn.

D. Không kết luận được.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: OA = $\sqrt{{\left(-3-0\right)}^2+{\left(-4-0\right)}^2}=\sqrt{25}$ = 5 > 3 = R nên A nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R = 3.

Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm của CM và DN. Tâm của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là:

A. Trung điểm của DM.

B. Trung điểm của DB.

C. Trung điểm của DE.

D. Trung điểm của DA.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ∆DCN và ∆CMB, có:

CN = MB = $\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}BC$ (gt)

CD = BC (gt)

$\widehat{DCN}=\widehat{CBM}=90°$ (gt)

Suy ra ∆DCN = ∆CMB (c.g.c)

Suy ra $\widehat{CDN}=\widehat{ECN}$ (hai góc tương ứng)

Nên $\widehat{CDN}+\widehat{CNE}=\widehat{ECN}+\widehat{CNE}=90°$ suy ra $\widehat{CEN}=90°$

Hay CM ⊥ DN.

Gọi I là tủng điểm của DM.

Xét tam giác vuông ADM, ta có: AI = ID = IM = $\frac{DM}{2}$.

Xét tam giác vuông DEM, ta có:

EI = ID = IM = $\frac{DM}{2}$ nên EI = ID = IM = IA = $\frac{DM}{2}$.

Do đó, bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính $\frac{DM}{2}$.

Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH = 2 cm, BC = 8 cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D. Các điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn.

A. D, H, B, C.

B. A, B, H, C.

C. A, B, D, H.

D. A, B, D, C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\widehat{CAD}=\widehat{DAB}$.

Suy ra ∆ACD = ∆ABD (c.g.c) nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90°$.

Lấy I là trung điểm AD, Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có:

IA = ID = IB = IC = $\frac{DA}{2}$.

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I đường kính AD. Đáp án cần chọn là D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính bán kính đường tròn
• Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn
• Góc ở tâm và số đo cung bị chắn
• Tính độ dài đường tròn, cung tròn
• Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

---