Tính độ dài đường tròn, cung tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính độ dài đường tròn, cung tròn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính độ dài đường tròn, cung tròn.

1. Phương pháp giải

• Cách xác định số đo của một cung

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó.

- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360° và số đo cung nhỏ (có chung hai đầu mút với cung lớn).

- Số đo của nửa đường tròn bằng 180°.

- Số đo cung AB, kí hiệu là sđ$\stackrel{⏜}{AB}$.

• Nhận xét:

- Khi hai mút của cung trùng nhau ta có “cung không” với số đo 0° và cung cả đường tròn có số đo bằng 360°.

- Cung nhỏ có số đo nhỏ hơn 180°, cung lớn có số đo lớn hơn 180°. Cung nửa đường tròn có số đo bằng 180°.

- Góc ở tâm chắn một cung mà cung đó là nửa đường tròn thì có số đo bằng 180°.

- Trong một đường tròn (hay hai đường tròn bằng nhau), hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau. Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn thì cung đó lớn hơn.

- Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì $sd\stackrel{⏜}{ACB}=sd\stackrel{⏜}{ACB}+sd\stackrel{⏜}{CB}$.

• Để chứng minh hai cung (của một đường tròn) bằng nhau ta chứng minh hai cung này có cung một số đo.

Chú ý: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau. Ta có: AB ∕∕ CD thì $sd\stackrel{⏜}{AB}=sd\stackrel{⏜}{CD}$.

• Cách xác định độ dài cung tròn

- Đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung n° được tính theo công thức:

l = $\frac{\pi Rn}{180}$.

Chú ý:

- Chu vi đường tròn đường kính d là C = πd.

- Chu vi đường tròn bán kính R là C = 2πR.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Số đo n° của cung tròn đó có độ dài 30,8 cm trêm đường tròn có bán kính 22 cm là (lấy π ≈ 3,14 và làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Độ dài cung tròn l = $\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .22n}{180}=\mathrm{30,8}$ suy ra n ≈ 80°.

Ví dụ 2. Tính độ dài cung 30° của một đường tròn có bán kính 4 dm. (lấy π ≈ 3,14 và làm tròn đến hàng phần mười)

Hướng dẫn giải

Độ dài cung tròn là: l = $\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \mathrm{.4.30}}{180}\approx \mathrm{2,1}$ dm.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Số đo n° của cung tròn đó có độ dài 40,2 cm trêm đường tròn có bán kính 16 cm là (lấy π ≈ 3,14 và làm tròn đến độ).

A. 144°.

B. 145°.

C. 124°.

D. 72°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .16n}{180}=\mathrm{40,2}$ suy ra n ≈ 144°.

Bài 2. Chu vi đường tròn có bán kính R = 6 là:

A. 18π.

B. 9π.

C. 12π.

D. 27π.  

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Chu vi C = 2πR = 2π.6 = 12π

Bài 3. Biết chu vi đường tròn C = 36π (cm). Tính đường kính của đường tròn.

A. 18 cm.

B. 14 cm.

C. 36 cm.

D. 20 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Chu vi C = πd = 36π suy ra d = 36.

Vậy đường kính cần tìm là 36 cm.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 5 cm, B = 60°. Đường tròn tâm I, đường kính AB cắt BC ở D. Chọn khẳng định sai

A. Độ dài cung nhỏ BD của (I) là $\frac{\pi }{6}$ (cm).

B. AD ⊥ BC.

C. D thuộc đường tròn đường kính AC.

D. Độ dài cung nhỏ BD của (I) là $\frac{5\pi }{6}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đường tròn (I) đường kính AB có $\widehat{ADB}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Nên AD ⊥ BC. Do đó đáp án B đúng.

Gọi K là trung điểm của AC, suy ra KA = KC = KD. Do đó K thuộc đường tròn đường kính AC. Do đó đáp án C đúng.

Ta có ∆IBD cân tại I có $\widehat{B}=60°$, suy ra ∆IBD đều nên $\widehat{DIB}=60°$.

Độ dài cung nhỏ BD của (I) là:

l = $\frac{\pi .\frac{5}{2}.60}{180°}=\frac{5\pi }{6}$ (cm).

Do đó đáp án D đúng.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A, cạnh AB = 4 cm, $\widehat{B}$ = 50°. Đường tròn tâm I, đường kính AB cắt BC ở D. Chọn khẳng định sai?

A. $\widehat{BCA}=40°$.

B. Độ dài cung nhỏ BD của (I) là $\frac{8\pi }{9}$ cm.

C. $\widehat{DAC}=50°$.

D. Độ dài cung lớn BD của (I) là $\frac{3\pi }{2}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{B}$ = 50° nên $\widehat{C}$ = 90° − 50° = 40°. Do đó A đúng.

Xét đường tròn (I) đường kính AB có $\widehat{BDA}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra $\widehat{DAC}=\widehat{B}=50°$ (cùng phụ với góc $\widehat{DAB}$) nên C đúng.

Vì $\widehat{DAC}=\widehat{B}=50°$ nên $\widehat{DAB}=90°-50°-40°$ suy ra số đo cung BD nhỏ là:

n° = 2.40° = 80°.

Độ dài cung nhỏ BD của (I) là l = $\frac{\pi .\frac{4}{2}.80}{180}=\frac{8\pi }{9}$ (cm) nên B đúng.

Số đo cung lớn BD là 360° − 80° = 280°.

Độ dài cung lớn BD là: l₁ = $\frac{\pi .\frac{4}{2}.280}{180}=3\pi$ (cm) nên D sai.

Bài 6. Cho tam giác ABC có AB = AC = 3 cm, $\widehat{A}=120°$. Tính dộ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. 12π.

B. 9π.

C. 6π.

D. 3π.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A nên AO vừa là đường cao vừa là phân giác của $\widehat{BAC}$.

Suy ra $\widehat{OAC}=60°$.

Xét tam giác CAO có OA = OC; $\widehat{OAC}=60°$ nên ∆CAO đều và

AO = OC = AC = 3 cm.

Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là R = 3 cm.

Chu vi đường tròn (O) là C = 2πR = 6π (cm).

Bài 7. Cho đường tròn (O) bán kính OA. Từ trung điểm M của OA vẽ dây BC ⊥ OA. Biết độ dài đường tròn (O) là 4π (cm). Độ dài cung lớn BC là

A. $\frac{4\pi }{3}$.

B. $\frac{5\pi }{3}$.

C. $\frac{7\pi }{3}$.

D. $\frac{8\pi }{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì độ dài đường tròn là 4π nên 4π = 2πR suy ra R = 2 cm (R là bán kính đường tròn)

Xét tứ giác ABOC có hai đường chéo AO ⊥ BC tại M là tủng điểm mỗi đường nên tứ giác ABOC là hình thoi.

Suy ra OB = OC = AB, do đó ∆ABO đều đều suy ra $\widehat{AOB}=60°$, do đó $\widehat{COB}=120°$.

Suy ra độ dài cung lớn BC là l = $\frac{\pi \mathrm{.2.240}}{180}=\frac{8\pi }{3}$ (cm).

Bài 8. Cho đường tròn (O) bán kính OA. Từ trung điểm M của OA vẽ dây

BC ⊥ OA. Biết độ dài đường tròn (O) là 6π cm. Độ dài cung lớn BC là

A. $\frac{4\pi }{3}$.

B. 8π.

C. 4π.

D. 2π.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Độ dài đường tròn là 6π nên 6π = 2πR suy ra R = 3 cm (R là bán kính đường tròn)

Xét tứ giác ABOC hai đường chéo AO ⊥ BC tại M là tủng điểm mỗi đường nên tứ giác ABOC là hình thoi.

Suy ra OB = OC = AB, do đó ∆ABO đều đều suy ra $\widehat{AOB}=60°$, do đó $\widehat{COB}=120°$.

Suy ra số đo cung lớn BC là: 360° − 120° = 240°.

Suy ra số đo cung lớn BC là l = $\frac{\pi \mathrm{.3.240}}{180}=4\pi$ (cm).

Bài 9. Cho tam giác ABC có AB = AC = 4 cm, $\widehat{A}=100°$. Tính độ dài đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C.

A. 6,22π.

B. 3,11π.

C. 6π.

D. 12,44π.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác).

Vì tam giác ABC cân tại A nên AO vừa là đường cao vừa là đường phân giác của $\widehat{BAC}$.

Suy ra $\widehat{CAO}=\frac{100°}{2}=50°$.

Gọi I là giao điểm của AO và BC. Xét tam giác CAI có AC = 4, $\widehat{CAI}=50°$ nên $\sin \widehat{CAI}=\frac{CI}{AC}$

suy ra CI = AC.sin CAI = 4.sin50° (cm)

Xét tam giác OAC cân tại O (vì OA = OC) có $\widehat{OCA}=\widehat{OAC}=50°$

suy ra $\widehat{COA}$ = 180° - 50° - 50° = 80°.

Xét tam giác CIO vuông tại I có sinCOI = $\frac{IC}{OC}$

suy ra OC = $\frac{IC}{\sin COI}=\frac{4\sin 50°}{\sin 80°}\approx \mathrm{3,11}$.

Nên bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C (đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) là R ≈ 3,11 cm.

Chu vi đường tròn (O) là C = 2πR ≈ 6,22π (cm).

Bài 10. Cho đường tròn (O; R) với dây cung BC cố định. Điểm A thuộc cung lớn BC. Đường phân giác goác BAC cắt đường tròn (O) tại D, các tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại C và D cắt nhau tại E. Tia CD cắt AB tại K, đường thẳng AD cắt CE tại I. Cho BC = $R\sqrt{3}$. Tính độ dài cung nhỏ BC của đường tròn (O; R) theo R.

A. $\frac{2\pi R}{3}$.

B. $\frac{5\pi R}{3}$.

C. $\frac{7\pi R}{3}$.

D. $\frac{4\pi R}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi H là giao điểm của OD và BC thì H là trung điểm của BC (do OD ⊥ BC tại H).

Suy ra HC = $\frac{BC}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}$.

Xét tam giác vuông HOC có sinHOC = $\frac{HC}{OC}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ suy ra $\widehat{HOC}=60°$, suy ra $\widehat{BOC}=120°$.

Độ dài cung nhỏ BC là l = $\frac{\pi R.120}{180}=\frac{2\pi R}{3}$ (cm).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

---