Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên.

1. Phương pháp giải

a) Diện tích hình tròn, hình quạt tròn

• Hình quạt tròn (hay còn gọi tắt là hình quạt) là một phần hình tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính đi qua hai mút của cung đó.

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n° là S = $\frac{\pi R^{2}n}{360}$.

Chú ý:

• Gọi l là độ dài cung tròn có số đo n° thì diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung có số đo n° là: S = $\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{lR}{2}$.

• Hình viên phân là hình giới hạn bởi một cung tròn và dây cung của đường tròn.

• Diện tích của một hình tròn bán kính R là: S = πR².

b) Hình vành khuyên

• Hình giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm được gọi là hình vành khuyên.

• Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; R) và (O; r) (với R > r) có diện tích là: S = π(R² – r²).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính diện tích hình tròn có bán kính R = 8 cm và R = 16 cm.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình tròn có bán kinh R = 8 cm là S = π.8² = 64π (cm²)

Diện tích hình tròn có bán kính lad R = 16²π = 256π  cm².

Ví dụ 2. Quan sát các hình dưới đây:

Tính diện tích phần được tô màu mỗi hình đó.

Hướng dẫn giải

• Hình 1: Diện tích hình quạt tròn có bán kính 2 cm, số đo cung 40° là:

S = $\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi {.2}^2.40}{360}=\frac{4\pi }{9}$ (cm²)

Vậy diện tích phần được tô màu là S = $\frac{4\pi }{9}$ cm².

• Hình 2: Diện tích hình tròn có bán kính 2 cm là S₁ = π.2² = 4π (cm²).

Diện tích hình quạt tròn có bán kính 2 cm, số đo cung 72° là:

S₂ = $\frac{\pi {.2}^2.72}{360}=\frac{4\pi }{5}$ (cm²).

Vậy diện tích phần được tô màu là S = S₁ – S₂ = 4π – $\frac{4\pi }{5}$ = $\frac{16\pi }{5}$ (cm²)

• Hình 3: Diện tích phần được tô màu chính là diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm bán kính 24 cm và 6 cm và bằng:

S = π(24² – 6²) = 540π (cm²).

• Hình 4: Đường tròn nhỏ bên trong có bán kính là 19 cm. Đường tròn to bên ngoài có bán kính là 2.19 = 38 cm.

Diện tích phần được tô màu chính là nửa diện tích hình vành khuyên được giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính 38 cm và 19 cm và bằng:

S = $\frac{1}{2}\pi \left({38}^2-{19}^2\right)=\frac{1083\pi }{2}$ (cm²).

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Một hình tròn có diện tích S = 225π (cm²). Bán kính của hình tròn đó là:

A. 15 cm.

B. 16 cm.

C. 12 cm.

D. 14 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích S = πR² = 225π suy ra R² = 225, do đó R = 15 (cm).

Câu 2. Diện tích hình tròn bán kính R = 10 cm là:

A. 100π cm².

B. 10π cm².

C. 20π cm².

D. 100π² cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích S = πR² = 10²π = 100π (cm²).

Câu 3. Cho đường tròn (O; 10 cm), đường kính AB. Điểm M ∈ (O) sao cho $\widehat{BAM}=45°$. Tính diện tích hình quạt AOM.

A. 5π (cm²).

B. 25π (cm²).

C. 50π (cm²).

D. $\frac{25\pi }{2}$ (cm²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét đường tròn (O) có: OM = OA và $\widehat{BAM}=45°$ suy ra ∆AOM là tam giác vuông cân.

Suy ra $\widehat{AOM}=90°$.

Vậy diện tích hình quạt AOM là S = $\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi {.10}^2.90}{360}=25\pi$ (cm²).

Câu 4. Cho đường tròn (O; 8 cm), đường kính AB. Điểm M ∈ (O) sao cho $\widehat{BAM}=60°$. Diện tích hình quạt AOM là

A. 32π (cm²).

B. 23π (cm²).

C. $\frac{32\pi }{3}$ (cm²).

D. $\frac{16\pi }{3}$ (cm²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét (O) có $\widehat{BAM}=60°$ và OA = OM = R nên tam giác AOM đều,

Suy ra $\widehat{BAM}=\widehat{AMO}=\widehat{AOM}=60°$.

Mà $\widehat{AOM}=sd\stackrel{⏜}{AM}$ nên sđ$\stackrel{⏜}{AM}$ = 60°.

Vậy diện tích hình quạt AOM là: $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi {.8}^2.60}{360}=\frac{32}{3}\pi$ (cm²).

Câu 5. Cho hình vuông có cạnh 6 cm là nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính diện tích hình tròn (O).

A. 18π (cm²).

B. 36π (cm²).

C. 18 (cm²).

D. 36 (cm²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) khi đó OA = OB = OC = OD = R.

Do đó, O là giao điểm của AC và BD nên R = $\frac{AC}{2}$.

Xét tam giác vuông ABC ta có:

AB² + BC² = AC²

6² + 6² = AC²

Suy ra AC = $6\sqrt{2}$ suy ra R = $\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$.

Diện tích hình tròn (O) là S = πR² = 18π (cm²).

Câu 6. Cho hình vuông có cạnh 5 cm nội tiếp đường tròn (O). Hãy tính diện tích hình tròn (O).

A. $\frac{25\pi }{4}$ (cm²).

B. $\frac{25\pi }{3}$ (cm²).

C. $\frac{15\pi }{2}$ (cm²).

D. $\frac{25\pi }{2}$ (cm²).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) khi đó OA = OB = OC = OD = R là giao điểm của AC và BD.

Suy ra R = $\frac{AC}{2}$.

Xét tam giác vuông ABC ta có:

AB² + BC² = AC²

5² + 5² = AC²

Suy ra AC = $5\sqrt{2}$ suy ra R = $\frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Diện tích hình tròn (O) là S = πR² = $\frac{25\pi }{2}$ (cm²).

 

Câu 7. Cho đường tròn (O) đường kính AB = $2\sqrt{2}$ cm. Điểm C ∈ (O) sao cho $\widehat{ABC}=30°$. Tính diện tích hình giới hạn bởi đường tròn (O) và AC, BC.

A. π – $\sqrt{3}$.

B. 2π – $2\sqrt{3}$.

C. π – $3\sqrt{3}$.

D. 2π – $\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình tròn (O) là S = πR².

Ta có góc $\widehat{ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{ACB}=90°$.

Do đó, $\widehat{BAC}=90°-\widehat{CBA}$ = 90° - 30° = 60°.

Tam giác AOC có $\widehat{OAC}=60°$ và OA = OC = R nên tam giác AOC đều có cạnh bằng R.

Giả sử CH là đường cao của tam giác ABC, ta có:

CH = CO.sin 60° = $\frac{\sqrt{3}}{2}R$, suy ra S_ABC = $\frac{1}{2}CH.AB=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}R.2R=\frac{\sqrt{3}}{2}R$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (O) và AC, BC là:

$\frac{1}{2}\pi R^2-\frac{\sqrt{3}}{2}{R}^2$ = $\left(\frac{1}{2}\pi -\sqrt{3}\right)R^2=\left(\frac{1}{2}\pi -\sqrt{3}\right).{\left(\sqrt{2}\right)}^2=\pi -\sqrt{3}$.

Câu 8. Một hình quạt có chu vi bằng 34 cm và diện tích bằng 66 cm². Bán kính của hình quạt bằng?

A. R = 5 cm.

B. R = 6 cm hoặc R = 11 cm.

C. R = 7 cm.

D. R = 8 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\frac{lR}{2}=66\\ l+2R=34\end{array}\right.$ khi đó $\left\{\begin{array}{l}lR=132\\ l+2R=34\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}2Rl=264\\ l+2R=34\end{array}\right.$.

Khi đó l và 2R là nghiệm của phương trình X² – 34X + 264 = 0 ta được nghiệm kép hay $\left\{\begin{array}{l}2R=22\\ l=12\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}2R=12\\ l=22\end{array}\right.$.

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}R=11\\ l=12\end{array}\right.$ hoặc $\left\{\begin{array}{l}R=6\\ l=22\end{array}\right.$.

Vậy R = 11 cm hoặc R = 6 cm.

Câu 9. Một hình quạt có chu vi bằng 28 cm và diện tích bằng 49 cm². Bán kính của hình quạt bằng?

A. R = 5 cm.

B. R = 6 cm.

C. R = 7 cm.

D. R = 8 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}\frac{lR}{2}=49\\ l+2R=28\end{array}\right.$ khi đó $\left\{\begin{array}{l}lR=98\\ l+2R=28\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}l.2R=196\\ l+2R=28\end{array}\right.$.

Khi đó l và 2R là nghiệm của phương trình X² – 28X + 196 = 0 ta được nghiệm kép hay $\left\{\begin{array}{l}2R=14\\ l=14\end{array}\right.$ khi đó $\left\{\begin{array}{l}R=7\\ l=14\end{array}\right.$.

Vậy R = 7 cm.

Câu 10. Cho hai đường tròn đồng tâm (O; 2 cm) và (O; 3 cm). Diện tích hình vành khuyên là:

A. 1,5π cm².

B. 2π cm².

C. 3π cm².

D. 5π cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích hình vành khuyên đó là: S = (3² – 2²)π = 5π (cm²).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
• Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
• Các bài toán về hai đường tròn tiếp xúc nhau, cắt nhau và không cắt nhau

---