Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Khi đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn cắt nhau.

Nếu đường thẳng và đường tròn cắt nhau thì mỗi điểm chung được gọi là một giao điểm.

Nhận xét: Đường thẳng a cắt đường tròn (O; R) khi khoảng cách tư tâm O đến đường thẳng a nhỏ hơn R và ngược lại.

b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

Khi đường thẳng và đường tròn có đúng một điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau tại điểm chung đó.

Nếu đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau thì đường thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn, điểm chung được gọi là tiếp điểm.

Nhận xét: Đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O; R) khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a bằng R và ngược lại

c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

• Khi đường thẳng và đường tròn không có điểm chung, ta nói đường thẳng và đường tròn không giao nhau.

Nhận xét: Đường thẳng a và đường tròn (O; R) không giao nhau khi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a lớn hơn R và ngược lại.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2,8 cm. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng BC với đường tròn tâm A bán kính 2,8 cm.

Hướng dẫn giải

Vẽ AH là đường cao của tam giác vuông ABC.

Ta có: $\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}=\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}$

Suy ra AH = 2,4 cm < 2,8 (d < r).

Do đó đường thẳng BC và đường tròn (A; 2,8 cm) cắt nhau.

Ví dụ 2. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và B, AD = 2 cm, BC = 6 cm, CD = 8 cm. Chứng minh rằng AB tiếp xúc với đường tròn đường kính CD.

Hướng dẫn giải

Gọi I, K lần lượt là trung điểm của CD và AB.

Ta có: IK là đường trung bình của hình thang ABCD

Suy ra IK = $\frac{AD+BC}{2}=4$ cm.

Lại có: AD ∕∕ IK, AD ⊥ AB suy ra IK ⊥ AB; IK = $\frac{DC}{2}=4$ cm; IK ⊥ AB.

Do đó AB tiếp xúc với đường tròn tâm I đường kính CD.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhật bao nhiêu điểm chung?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bài 2. Nếu đường thẳng và đường tròn có duy nhất một điểm chung thì?

A. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

B. Đường thẳng cắt đường tròn.

C. Đường thẳng không cắt đường tròn.

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bài 3. Nếu đường thẳng và đường tròn có hai điểm chung thì

A. Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

B. Đường thẳng cắt đường tròn.

C. Đường thẳng không cắt đường tròn.

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bài 4. Nếu đường tròn d là tiếp tuyến có đường tròn (O) tại A thì:

A. d ∕∕ OA.

B. d ≡ PA.

C. d ⊥ OA tại A.

D. d ⊥ OA tại O.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Nên d ⊥ OA tại điểm A.

Bài 5. Cho đường tròn (O) và điểm A nằm trên đường tròn (O). Nếu đường thẳng d ⊥ OA tại A thì:

A. d là tiếp tuyến của (O).

B. d cắt (O) tại hai điểm phân biệt.

C. d tiếp xúc với (O) tại O.

D. Cả A, B, C đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng đó là tiếp điểm của đường tròn. Hay d là tiếp tuyến của (O) tại A.

Bài 6. Cho một đường tròn (O) và đường thẳng a. Kẻ OH ⊥ a, biết OH > R khi đó đường thẳng a và đường tròn (O).

A. cắt nhau.

B. tiếp xúc nhau.

C. không cắt nhau.

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bài 7. Cho một đường tròn (O) và đường thẳng a. Kẻ OH ⊥ a, biết OH < R khi đó đường thẳng a và đường tròn (O).

A. cắt nhau.

B. tiếp xúc nhau.

C. không cắt nhau.

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bài 8. Cho hai đường thẳng a, b song song và cách nhau một khoảng 2,5 cm. Lấy I trên a và vẽ đường tròn (I; 2,5 cm). Khi đó đường tròn với đường thẳng b

A. cắt nhau.

B. tiếp xúc nhau.

C. không cắt nhau.

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì hai đường thẳng song song a, b cách nhau một khoảng là 2,5 cm mà I ∈ a nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng b là d = 2,5 cm.

Duy ra d = R nên đường tròn (I; 2,5 cm) và đường thẳng b tiếp xúc nhau.

Bài 9. Cho hai đường thẳng a, b song song và cách nhau một khoảng 3 cm. Lấy I trên a và vẽ đường tròn (I; 3,5 cm). Khi đó đường tròn với đường thẳng b

A. cắt nhau.

B. tiếp xúc nhau.

C. không cắt nhau.

D. Đáp án khác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì hai đường thẳng song song a, b cách nhau một khoảng là 3 cm mà I ∈ a nên khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng b là d = 3 cm.

Duy ra d < r (3 cm < 3,5 cm) nên đường tròn (I; 3,5 cm) và đường thẳng b cắt nhau.

Bài 10. Cho góc xOy (0 < $\widehat{xOy}$ < 180°). Đường tròn (I) là đường tròn tiếp xúc với cả hai cạnh Ox, Oy. Khi đó, điểm I chạy trên đường nào?

A. Đường thẳng vuông góc với Ox tại O.

B. Tia phân giác của góc xOy.

C. Tia Oz nằm giữa Ox và Oy.

D. Tia phân giác của góc xOy trừ điểm O.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì IA ⊥ Oy, IB ⊥ Ox tại A, B.

Vì (I) tiếp xúc với cae Ox, Oy nên IA = Ib suy ra I thuộc tia phân giác của góc xOy (I ≠ O) (tính chất tia phân giác của một góc)

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
• Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
• Các bài toán về hai đường tròn tiếp xúc nhau, cắt nhau và không cắt nhau

---