Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Trang trước Trang sau

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn.

1. Phương pháp giải

a) Hai đường tròn cắt nhau

Nếu hai đường tròn có đúng hai điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn cắt nhau. Hai điểm chung gọi là hai giao điểm của chúng.

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Hai đường tròn (O; R) và (O'; r) (R ≥ r) cắt nhau khi và chỉ khi

R – r < OO' < R + r.

b) Hai đường tròn tiếp xúc nhau

Nếu hai đường tròn có duy nhất một điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn tiếp xúc nhau. Điểm chung gọi là tiếp điểm của chúng.

Hai đường tròn (O; R) và (O'; r) (R ≥ r) tiếp xúc trong khi và chỉ khi

OO' = R – r > 0 (Hình 1)

Hai đường tròn (O; R) và (O'; r) (R ≥ r) tiếp xúc ngoài khi và chỉ khi

OO' > R + r (Hình 2)

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

c) Hai đường tròn không giao nhau

Nếu hai đường tròn không có điểm chung thì ta nói đó là hai đường tròn không giao nhau.

Hai đường tròn (O; R) và (O'; r) (R ≥ r) ngoài nhau khi và chỉ khi

OO' > R + r (Hình 1).

Hai đường tròn (O; R) và (O'; r) (R ≥ r) đựng nhau khi và chỉ khi

OO' < R – r .

Đặc biệt, khi O ≡ O' thì ta có hai đường tròn đồng tâm (Hình 2)

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Bảng tóm tắt vị trí của hai đường tròn

Vị trí tương đối của hai đường tròn (O; R) và (O'; r) (R ≥ r)		Số điểm chung	Hệ thức	Hình vẽ
Cắt nhau		2	R – r < OO' < R + r
Tiếp xúc	Tiếp xúc trong	1	OO' = R – r > 0
Tiếp xúc	Tiếp xúc ngoài	1	OO' = R + r
Không cắt nhau	Ngoài nhau	0	OO' > R + r
	Đựng nhau		O ≡ O'
	Đựng nhau		0 ≠ OO' < R – r

Chú ý:

• Đường nối tâm (đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn) là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.

• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm bằm trên đường tròn nối tâm.

• Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai đường tròn (O; 11,5 cm) và (I, 6,5 cm). Biết rằng OI = 4 cm. Xét vị trí tương đối của hai đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Nhận thấy OI = 4 < 11,5 – 6,5.

Do đó, đường tròn (O; 11,5 cm) đựng đường tròn (I; 6,5 cm).

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tròn tâm D bán kính R cắt (O) ở B và C.

a) Tính số đo các góc $\hat{C B D}, \hat{C B O}, \hat{O B A}$ .

b) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều.

Hướng dẫn giải

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

a) Xét tam giác OBD có OB = OD = BD = R nên tam giác OBD đều.

suy ra $\hat{O B D} = \hat{O D B} = 60 °$ suy ra tia BC là tia phân giác của $\hat{O B D}$

suy ra $\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{1}{2} \hat{O B D} = 30 °$ .

Ta có: B ∈ (O) nên $\hat{A B D} = 90 °$ suy ra $\hat{B_{3}} = 30 °$ .

b) Xét tứ giác OBDC có OB = OC = DC = DB = R (giả thiết) nên OBDC là hình thoi

Suy ra OD ⊥ BC tại I, suy ra IB = IC.

Xét tam giác ABC có AI là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác ABC cân tại A.

Mà $\hat{A B C} = \hat{B_{2}} + \hat{B_{3}} = 60 °$ suy ra tam giác ABC đều.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hai đường tròn tiếp xúc nhau thì có 1 điểm chung duy nhất.

Bài 2. Nếu hai đường tròn không cắ nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là:

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hai đường tròn không cắt nhau thì số điểm chung của hai đường tròn là 0.

Bài 3. Cho hai đường tròn (O; R) và (O'; r) với R > r cắt nhau tại hai điểm phân biệt và OO' = d. Chọn khẳng định đúng:

A. d = R – r.

B. d > R + r.

C. R – r < d < R + r.

D. d < R – r.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Hai đường tròn (O; R) và (O'; r) có (R > r) cắt nhau.

Khi đó (O) và (O') có hai điểm chung và đường nối tâm là đường trung trực của đoạn AB.

Hệ thức liên hệ R – r < d < R + r.

Bài 4. Cho hai đường tròn (O; 8 cm) và (O'; 6 cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là tiếp tuyến của (O'). Độ dài dây AB là:

A. AB = 8,6 cm.

B. AB = 6,9 cm.

C. AB = 4,8 cm.

D. AB = 9,6 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Vì OA là tiếp tuyến của (O') nên ∆OAO' vuông tại A.

Vì (O) và (O') cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO' là đường trung trực của đoạn AB.

Gọi giao điểm của AB và OO' là I thì AB ⊥ OO' tại I là trung điểm của AB.

Xét ∆IAO và ∆AO'O có: $\hat{O I A} = \hat{O A O^{'}} = 90 °$ , $\hat{A O I} = \hat{O^{'} O A}$

Suy ra ∆IAO ∽ ∆AO'O (g.g) suy ra $\frac{I A}{A O^{'}} = \frac{A O}{O O^{'}}$

hay IA = $\frac{A O^{'} . A O}{O O^{'}} = \frac{8.6}{\sqrt{6^{2} + 8^{2}}} = \frac{48}{10}$ = 4,8 cm.

Do đó, AB = 2AI = 9,6 cm.

Bài 5. Cho hai đường tròn (O; 6 cm) và (O'; 2 cm) cắt nhau tại A, B sao cho OA là tiếp tuyến của (O'). Độ dài dây AB là:

A. AB = $3 \sqrt{10}$ cm.

B. AB = $\frac{6 \sqrt{10}}{5}$ cm.

C. AB = $\frac{3 \sqrt{10}}{5}$ cm.

D. AB = $\frac{\sqrt{10}}{5}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Vì OA là tiếp tuyến của (O') nên ∆OAO' vuông tại A.

Vì (O) và (O') cắt nhau tại A, B nên đường nối tâm OO' là đường trung trực của đoạn AB.

Gọi giao điểm của AB và OO' là I thì AB ⊥ OO' tại I là trung điểm của AB.

Xét ∆IAO và ∆AO'O có: $\hat{O I A} = \hat{O A O^{'}} = 90 °$ , $\hat{A O I} = \hat{O^{'} O A}$

Suy ra ∆IAO ∽ ∆AO'O (g.g) suy ra $\frac{I A}{A O^{'}} = \frac{A O}{O O^{'}}$

hay IA = $\frac{A O^{'} . A O}{O O^{'}} = \frac{2.6}{\sqrt{6^{2} + 2^{2}}} = \frac{12}{2 \sqrt{10}} = \frac{6 \sqrt{10}}{10}$ cm.

Do đó, AB = 2AI = $\frac{6 \sqrt{10}}{5}$ cm.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 6, 7.

Cho đoạn OO' và điểm A nằm trên OO' sao cho OA = 2 O'A. Đường tròn (O) bán kính OA và đường tròn (O') đường kính O'A.

Bài 6. Vị trí tương đối của hai đường tròn là:

A. Nằm ngoài nhau.

B. Cắt nhau.

C. Tiếp xúc ngoài.

D. Tiếp xúc trong.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Vì hai đường tròn có một điểm chung là A và OO' = AO – $\frac{A O}{2}$ = R – r nên hai đường tròn tiếp xúc trong.

Bài 7. Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ tại C. Khi đó:

A. $\frac{A D}{A C} = \frac{1}{2}$ .

B. $\frac{A D}{A C} = 3$ .

C. OD ∕∕ O'C.

D. Cả A, B, C đều sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Xét đường tròn (O') có OA là đường kính và C ∈ (O') nên ∆ACo vuông tại C suy ra OC vuông góc với AD.

Xét đường tròn (O) có OA = OD suy ra ∆OAD cân tại O có OC là đường cao cùng là đường trung tuyến nên CD = AC.

Do đó chọn B.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9

Cho (O₁; 3 cm) tiếp xúc với (O₂; 1 cm) tại A. Vẽ bán kính O₁B và O₂C song song với nhau cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ O₁O₂. Gọi D là giao điểm của BC và O₁O₂.

Bài 8. Số đo góc BAC là:

A. 90°.

B. 60°.

C. 100°.

D. 80°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Xét (O₁) có O₁B = O₁A nên ∆O₁AB cân tại O₁, suy ra $\hat{O_{1} B A} = \hat{O_{1} A B}$ .

Xét (O₂) có O₂C = O₂A nên ∆O₂AC cân tại O₁, suy ra $\hat{O_{2} C A} = \hat{O_{2} A C}$ .

Lại có O₁B ∕∕ O₂C nên $\hat{O_{1} B C} + \hat{O_{2} C B}$ = 180° (hai góc trong cùng phía bù nhau)

Suy ra $\hat{O_{1}} + \hat{O_{2}} = 360 ° - \hat{O_{2} C B} - \hat{O_{1} B C} = 180 °$ .

2( $\hat{O_{2} A C} + \hat{O_{1} A B}$ ) = 180°.

Suy ra $\hat{O_{2} A C} + \hat{O_{1} A B}$ = 90° suy ra $\hat{C A B} = 90 °$ .

Bài 9. Tính độ dài O₁D.

A. O₁D = 4,5 cm.

B. O₁D = 5 cm.

C. O₁D = 8 cm.

D. O₁D = 6 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì ∆O₁BD có O₁B ∕∕ O₂C nên theo hệ quả định lí Thelès ta có:

$\frac{O_{2} D}{O_{1} D} = \frac{O_{2} C}{O_{1} B} = \frac{1}{3}$ suy ra $\frac{O_{2} O_{1}}{O_{1} D} = \frac{2}{3}$ .

Mà O₁O₂ = O₁A + O₂A = 3 + 1 = 4 suy ra O₁D = $\frac{3}{2} O_{2} O_{1}$ = 6 cm.

Đáp án D.

Bài 10. Cho hai đường tròn (O; 20 cm) và (O'; 15 cm) cắt nhau tại A và B. Tính đoạn nối tâm OO', biết rằng AB = 24 cm và O và O' nằm cùng phía đối với AB.

A. OO' = 7 cm.

B. OO' = 8 cm.

C. OO' = 9 cm.

D. OO' = 25 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Ta có: AO = $\frac{A B}{2}$ = 12 cm.

Theo định lí Pythagore, ta có: OI² = OA² – AI² = 256 suy ra IO = 16 cm.

$O^{'} I = \sqrt{O^{'} A^{2} - I A^{2}} = 9$ cm.

Do đó, OO' = OI – O'I = 16 – 9 = 7 cm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học