Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên.

1. Phương pháp giải

• Chu vi đường tròn bán kính R là C = 2πR.

• Trong một đường tròn bán kính R, độ dài l của một cung n° là: l = $\frac{\pi Rn}{180}$.

• Diện tích của một hình tròn bán kính R là: S = πR².

• Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cung n° là: S = $\frac{\pi R^{2}n}{360}$.

• Diện tích hình quạt tròn bán kính R, l và độ dài cung tròn có số đo n° là:

S = $\frac{lR}{2}$.

• Hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; R) và (O; r) có diện tích là:

S = π(R² – r²).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Hình quạt tô màu đỏ ở hình bên dưới có bán kính bằng 2 dm và góc ở tâm bằng 150°.

a) Tính diện tích hình quạt đó.

b) Chiều dài cung tương ứng với hình quạt đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

a) Diện tích hình quạt đó là: l = $\frac{\pi {.2}^2.150}{360}=\frac{5\pi }{3}$ (dm).

b) Ta có: $S=\frac{lR}{2}$ suy ra l = $\frac{2S}{R}=\frac{2.\frac{5\pi }{3}}{2}=\frac{5\pi }{3}$ (dm).

Vậy độ dài cung tương ứng với hình quạt đó là: $\frac{5\pi }{3}$ dm.

Ví dụ 2. Một con lắc di chuyển từ A đến vị trí B (Hình vẽ). Tính độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển, biết rằng dợi dây OA có độ dài l = 2 (cm) và tia OA tạo với phương thẳng đứng góc α = 15°

Hướng dẫn giải

Ta có: $\widehat{AOB}$ = 2α = 2.15° = 30° là số đo của cung AB.

Độ dài quãng đường AB mà con lắc đó đã di chuyển là:

l = $\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi 2.30}{180}=\frac{\pi }{3}$ (cm)

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Bánh xe (khi bơm căng) của một chiếc xe đạp có đường kính 650 mm. Biết rằng khi giò đĩa quay một vòng thì bánh xe đạp quay được khoảng 3,3 vòng (hình vẽ). Hỏi chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài bao nhiêu mét sau khi người đi xe đạp 10 vòng liên tục.

Hướng dẫn giải

Chu vi của bánh xe là: C = πd = 650π (mm)

Khi người đi xe đạp 10 vòng thì xe đạp di chuyển được quãng đường bằng:

C = 650π. 3,3.10 = 21450π ≈ 6 738,72 (mm) = 6,783 (m)

Vậy chiếc xe đạp di chuyển được quãng đường dài khoảng 6,738 m sau khi người đi xe đạp 10 vòng liên tục.

Bài 2. Hình vẽ bên dưới mô tả mặt cắt của chiếc đèn led có dạng hình vành khuyên màu trắng với bán kính đường tròn lần lượt là 15 cm, 18 cm, 21 cm, 24 cm. Tính diện tích hình vành khuyên đó.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình vành khuyên bên trong là: S₁ = (18² – 15²)π = 99π (cm²).

Diện tích hình vành khuyên bên ngoài là: (24² – 21²)π = 135π (cm²).

Bài 3. Hình vẽ bên dưới mô tả mặt cắt của một khung gỗ có dạng ghép của năm hình: hai nửa hình tròn đường kính 2 cm, hai hình chữ nhật có kích thước 2 cm × 8 cm (Hình b); một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm có bán kính lần lượt là 4 cm và 6 cm. Tính diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó.

Hướng dẫn giải

Tổng diện tích hai nửa hình tròn đường kính 2 cm (bán kính 1 cm) chính là diện tích của một hình bán kính 1 cm và bằng S = 1².π = π (cm²).

Tổng diện tích của hai hình chữ nhật kích thước 2 cm × 8 cm là:

S₂ = 2.2.8 = 32 (cm²)

Diện tích một phần tư hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn cùng tâm có bán kính lần lườ là 4 cm và 6 cm là: S₃ = $\frac{1}{4}\pi \left(6^2-4^2\right)=5\pi$ (cm²)

Diện tích của mặt cắt của khung gỗ đó là:

S = π + 32 + 5π = 32 + 6π (cm²).

Bài 4. Một đĩa CD như hình dưới đây có dạng hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là 1,5 cm và 6 cm. Hình vành khuyên đó có diện tích bằng bao nhiêu cm² (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Hướng dẫn giải

Diện tích mặt đĩa CD có dạng hình vành khuyên là:

S = π(6² – 1,5²) = 33,75π ≈ 106 (cm²).

Bài 5. Hình vẽ dưới đât mô tả mảnh vải có dạng một phần tư hình vành khuyên, trong đó hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn cùng tâm và có bán kính lần lượt là 3 dm và 5 dm. Diện tích của mảnh đó bằng bao nhiêu dm²? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Diện tích mảnh vải có dạng một phần tư hình vành khuyên đó là:

S = $\frac{1}{4}\pi \left(5^2-3^2\right)=4\pi$ (dm²)

Bài 6. Khi đóng đáy thuyền cho những con thuyền vượt biển, người Vikings sử dụng hai loại nêm: nêm góc và nêm cong (lần lượt ô màu xanh, màu đỏ trong hình a). Mặt cắt ABCD của nêm góc có dạng hai tam giác vuông OAE, ODE bằng nhau có cạnh huyền chung và bỏ đi hình quạt BOC (Hình b), được làm từ những thân cây mọc thẳng. MẶt cắt MNPQ của nêm cong có dạng một phần của hình vành khuyên (Hình c), được làm từ những thân cây cong, Kích thước của nêm cong được cho ở Hình c.

Diện tích của nêm cong là bao nhiêu khi lấy 1ft = 30,48 cm, 1 inch – 2,54 cm và làm tròn đến kết quả hàng đơn vị?

Hướng dẫn giải

Đổi 3ft = 91,44 cm; 6 in = 15,24 cm.

Bán kính IQ là: 91,44 + 15,24 = 106,68 cm.

Diện tích của nêm cong MNPQ là:

S = π(106,68² – 15,24²) ≈35 024 (cm²). 

Bài 7. Có hai chiếc bánh pizza hình tròn. Chiếc bánh thứ nhất có đường kính bằng 16 cm được cắt thành 6 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Chiếc bánh thứ hai có đường kính 18 cm được cắt thành 8 miếng đều nhau có dạng hình quạt tròn. Tính tổng diện tích bề mặt của hai miếng bánh được cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất và chiếc bánh thứ hai.

Hướng dẫn giải

Diện tích miếng bánh được cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất là:

S₁ = $\frac{360.\pi {.16}^2}{360}:6=\frac{128\pi }{3}$ (cm²)

Diện tích miếng bánh được cắt ra từ chiếc bánh thứ hai là:

S₂ = $\frac{360.\pi {.18}^2}{360}:8=\frac{81\pi }{2}$ (cm²).

Tổng diện tích bề mặt của hai miếng bánh được cắt ra từ chiếc bánh thứ nhất và chiếc bánh thứ hai là: $\frac{128\pi }{3}+\frac{81\pi }{2}=\frac{499\pi }{6}$ (cm²).

Sử dụng dữ liệu của bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9

Hình vẽ dưới đây biểu diễn vùng biển được chiếu ánh sáng bởi một hải đăng có dạng một hình quạt tròn với bán kính 18 dặm, cung $\widehat{AmB}=245°$.

Bài 8. Hãy tính diện tích vùng biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ hải đăng theo đơn vị kilomet vuông (lấy 1 dặm = 1 609 m và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Hướng dẫn giải

Đổi 1 dặm = 1 609 m = 1,609 km.

Diện tích vùng biển có thể nhìn thấy ánh sáng từ hải đăng là:

S = $\frac{{\left(\mathrm{18.1,609}\right)}^2.245\pi }{360}\approx 1793$ (km²).

Bài 9. Giả sử một con thuyền di chuyển dọc theo dây cung có độ dài 28 dặm của đường tròn với tâm là tâm của hình quạt tròn, bán kính là 18 dặm. Tính khoảng cách nhỏ nhất từ con thuyền đến hải đăng (theo đơn vị dặm và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Hướng dẫn giải

Xét đường tròn (O) có OH ⊥ CD tại H nên H là trung điểm của CD.

Khi đó, CH = $\frac{1}{2}$CD = $\frac{1}{2}$.28 = 14 (km²) (dặm).

Xét tam giác OHC vuông tịa H, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

OC² = OH² + CH²

Suy ra OH² = OC² – CH² = 18² – 14² = 128

Do đs, OH = $\sqrt{128}$ ≈ 11 (dặm)

Vậy khoảng cách nhỏ nhất từ thuyền đến ngọn hải đăng khoảng 11 dặm.

Bài 10. Một tấm bia tạo bởi năm đường tròn đồng tâm lần lượt có bán kính là 5 cm, 10 cm, 15 cm, 20 cm, 30 cm. Giả thiết rằng người chơi ném phi tiêu một cách ngẫu nhiên và luôn trúng bia.

Tính xác suất ném trúng vòng số 8 (hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và thứ ba), biết rằng xác suất cần tìm bằng tỉ số giữa diện tích hình vành khuyên tương ứng với diện tích đường tròn lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Diện tích hình vành khuyên nằm giữa đường tròn thứ hai và đường tròn thứ ba là:

S₈ = π(15² – 10²) = 125π (cm²)

Diện tích hình tròn lớn nhất là:

S = π.30² = 900π (cm²)

Xác suất ném trúng vòng 8 là: $\frac{125\pi }{900\pi }=\frac{5}{36}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau
• Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
• Các bài toán về hai đường tròn tiếp xúc nhau, cắt nhau và không cắt nhau

---