Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Trang trước Trang sau

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn.

1. Phương pháp giải

• Sử dụng kiến thức về tam giác đồng dạng, định lí Pythagore,.... để chứng minh, tính toán các đại lượng liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10 cm và Bx là tiếp tuyến của (O). Gọi C là một điểm trên (O) sao cho $\hat{C A B} = 30 °$ và E là giao điểm của các tia AC và Bx.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BC.

b) Tính độ dài đoạn thẳng BE.

Hướng dẫn giải

Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

a) Ta có: $\hat{A C B} = 90 °$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét ∆CAB vuông tại C, ta có: BC = AB.tan $\hat{C A B}$ = 10.tan30° = $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ cm.

AC = AB.cos $\hat{C A B}$ = 10.cos30° = $5 \sqrt{3}$ cm.

Có BE là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B.

Xét tam giác ABE, ta có: BE = AB.tan $\hat{C A B}$ = 10.tan30° = $\frac{10 \sqrt{3}}{3}$ cm.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O; R) và dây AB = 1,6R. Vẽ một tiếp tuyến song song với AB, cắt các tia OA, OB lần lượt tại M và N. Tính diện tích tam giác OMN.

Hướng dẫn giải

Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Nối OH ta được OH ⊥ MN (tính chất tiếp tuyến)

Ta lại có AB ∕∕ MN suy ra OH ⊥ MN tại I.

Theo tính chất đường kính vuông góc với dây cung ta được:

AI = BI = 1,6R : 2 = 0,8R.

Tam giác IOA vuông tại I, nên áp dụng định lí Pythagore, ta được:

OI² = OA² – IA² = R² – (0,8R)² = 0,36R² suy ra OI = 0,6r.

Xét tam giác MON có AB ∕∕ MN suy ra ∆OAB ∽ ∆OMN suy ra $\frac{A B}{M N} = \frac{O I}{O H}$ (tỉ số hai đường cao ứng với tỉ số đồng dạng)

Suy ra MN = $\frac{A B . O H}{O I} = \frac{1,6 R}{0,6 R} = \frac{8}{3} R$ .

Diện tích tam giác MON là: $\frac{1}{2} M N . O H = \frac{1}{2} . \frac{8}{3} R . R = \frac{4}{3} R^{2}$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường tròn tâm O bán kính 5 cm và một điểm A cách O một khoảng là 13 cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.

A. AB = 8 cm.

B. AB = 12 cm.

C. AB = 23 cm.

D. AB = 6 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Vì AB là tiếp tuyến và B là tiếp điểm nên OB = R = 5 cm; AB ⊥ OB tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại B, ta được:

AB = $\sqrt{O A^{2} - O B^{2}} = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = 12$ cm.

Bài 2. Cho tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Vẽ đường tròn (B; BA). Để AC là tiếp tuyến của đường tròn (B) thì độ dài của cạnh BC là:

A. 14 cm.

B. 10 cm.

C. 12 cm.

D. 7 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để AC là tiếp tuyến của đường tròn (B) thì AC ⊥ BA tại A.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

BC = $\sqrt{C A^{2} + A B^{2}} = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ cm.

Sử dụng bảng dữ liệu dưới đây để trả lời Bài 3, 4.

Có R là bán kính đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng.

Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Bài 3. Từ thích hợp điền vào vị trí số (1) là:

A. Cắt nhau.

B. Tiếp xúc.

C. Không cắt nhau.

D. Không xác định.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Do R > d (5 cm > 4 cm) nên đường thẳng cắt đường tròn.

Bài 4. Đáp án thích hợp điền vào vị trí số (2) là:

A. 8 cm.

B. 4 cm.

C. 16 cm.

D. 6 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để đường thẳng với đường tròn tiếp xúc nhau thì d = R.

Do đó, d = 8 cm.

Bài 5. Cho đường tròn tâm O bán kính 6 cm và một điểm A cách O là 10 cm. Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Tính độ dài AB.

A. AB = 12 cm.

B. AB = 4 cm.

C. AB = 6 cm.

D. AB = 8 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Vì AB là tiếp tuyến và B là tiếp điểm nên OB = R = 6 cm; AB ⊥ OB tại B.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABO vuông tại B, ta được:

AB = $\sqrt{O A^{2} - O B^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$ cm.

Bài 6. Cho đường tròn (O; R) và dây AB = 1,2R. Vẽ một tiếp tuyến song song với AB, cắt các tia OA, OB lần lượt tại E và F. Tính diện tích tam giác OEF theo R.

A. S_OEF = 0,75R².

B. S_OEF = 1,5R².

C. S_OEF = 0,8R².

D. S_OEF = 1,75R².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Kẻ OH ⊥ EF tại H và cắt AB tại I suy ra OI ⊥ AB (vì AB ∕∕ EF)

Xét (O) có OI ⊥ AB tại I nên I là trung điểm của AB.

Suy ra IA = IB = $\frac{A B}{2} = 0,6 R$ . Lại có OA = R.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAI ta có: OI = $\sqrt{O A^{2} - I A^{2}} = 0,8 R$ .

Mà AI ∕∕ EH nên $\frac{A I}{E H} = \frac{O I}{O H} = \frac{0,8 R}{R}$ nên EH = $\frac{0,6 R}{0,8} = 0,75 R$ .

∆OEF cân tại O (vì $\hat{E} = \hat{F} = \hat{B A O} = \hat{A B O}$ ) có OH ⊥ EF nên H là trung điểm của EF.

Vì EF = 2EH = 1,5R nên diện tích tam giác EOF là $\frac{1}{2} O H . E F = 0,75 R^{2}$ .

Bài 7. Cho đường tròn (O; 6 cm) và dây AB = 9,6 cm. Vẽ một tiếp tuyến song song với AB, cắt các tia OA, OB lần lượt tại E và F. Tính diện tích tam giác OEF theo R.

A. S_OEF = 36 cm².

B. S_OEF = 24 cm².

C. S_OEF = 48 cm².

D. S_OEF = 96 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Kẻ OH ⊥ EF tại H và cắt AB tại I suy ra OI ⊥ AB (vì AB ∕∕ EF)

Xét (O) có OI ⊥ AB tại I nên I là trung điểm của AB.

Suy ra IA = IB = $\frac{A B}{2}$ = 4,8 cm. Lại có OA = 6 cm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác OAI ta có: OI = $\sqrt{O A^{2} - I A^{2}}$ = 3,6 cm.

Mà AI ∕∕ EH nên $\frac{A I}{E H} = \frac{O I}{O H} = \frac{3,6}{6} = \frac{3}{5}$ nên EH = $\frac{4,8.5}{3}$ = 8 cm.

∆OEF cân tại O (vì $\hat{E} = \hat{F} = \hat{B A O} = \hat{A B O}$ ) có OH ⊥ EF nên H là trung điểm của EF.

Vì EF = 2EH = 16 cm nên diện tích tam giác EOF là

$\frac{1}{2}$ OH.EF = $\frac{1}{2}$ .6.16 = 48 cm².

Bài 8. Cho (O; R). Từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn. Đường trung trực của đường kinh BC cắt đường thẳng AC tại K. Tính độ dài đoạn thẳng MK.

A. MK = $R \sqrt{3}$ .

B. MK = 2R.

C. MK = R.

D. MK = $R \sqrt{2}$ .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Xét đường tròn (O; R) có MA, MB là tiếp tuyến.

Suy ra $\hat{B O M} = \hat{A O M} = \frac{1}{2} \hat{A O B}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1).

∆OAC có OA = OC suy ra $\hat{O A C} = \hat{O C A}$ (tính chất tam giác cân)

Ta có: $\hat{O A C} + \hat{O C A} = \hat{A O B}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{O C A} = \hat{B O M}$ .

Mà $\hat{O C A}, \hat{B O M}$ ở vị trí đồng vị.

Nên CK ∕∕ OM suy ra $\hat{M O K} = \hat{C K O}$ (so le trong).

Chứng minh ∆OAM = ∆OCK (c.g.c) suy ra CK = OM (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh ∆KMO = ∆OCK (c.g.c) suy ra $\hat{C O K} = \hat{O K M}$ (hai góc .

tương ứng).

Mà $\hat{C O K}$ = 90° (KO là trung trực của BC) suy ra $\hat{O K M}$ = 90°.

Xét tứ giác OBMK có:

$\hat{O B M}$ = 90° (MB là tiếp tuyến của (O; R)).

$\hat{B O K}$ = 90° (KO là trung trực của BC).

$\hat{O K M}$ = 90° (cmt)

Do đó OBMK là hình chữ nhật suy ra MK = OB = R.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 8 cm, AC = 15 cm. Vẽ đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E. Độ dài HE là:

A. $\frac{120}{17}$ cm.

B. 20 cm.

C. 17 cm.

D. $\frac{120}{7}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Ta có: E thuộc đường tròn (O) suy ra $\hat{D E C} = 90 °$ suy ra DE ∕∕ AB.

Gọi F là trung điểm của AE suy ra HF là đường trung bình của hình thang ABDE suy ra HF ⊥ AE suy ra ∆HAE cân tại H nên $\hat{E_{1}} = \hat{A_{1}}$ .

Ta có: ∆OEC cân tại O suy ra $\hat{E_{1}} = \hat{C}$ suy ra $\hat{E_{1}} + \hat{E_{2}} = \hat{C} + \hat{A_{1}} = 90 °$

suy ra HE ⊥ OE (đpcm).

Xét ∆ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pyhthagore

suy ra BC = $\sqrt{A B^{2} + A C^{2}} = 17$ cm.

Ta có S_ABC= $\frac{1}{2}$ AB.AC = $\frac{1}{2}$ AH.BC suy ra AH = $\frac{A B . A C}{B C} = \frac{8.15}{17} = \frac{120}{17}$ cm.

Có AH = HE nên HE = $\frac{120}{17}$ cm.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, AB = 8 cm, BC = 16 cm. Dọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ đường tròn đường kính CD cắt AC ở E. Tính độ dài đoạn thẳng HE.

A. $4 \sqrt{3}$ cm.

B. 4 cm.

C. 12 cm.

D. $2 \sqrt{3}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Xét tam giác ABC vuông tại A, có: cosB = $\frac{A B}{B C} = \frac{1}{2}$ suy ra $\hat{B} = 60 °$ .

Xét tam giác ABD có AH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác ABD cân tại A, có $\hat{B} = 60 °$ suy ra ∆ABD đều.

Ta có: OD = OE suy ra ∆ODE cân tại O.

Có AB ∕∕DE suy ra $\hat{A B C} = \hat{E D C} = 60 °$ suy ra ∆ODE đều.

Do đó DE = DH = DO = $\frac{B C}{4}$ suy ra $\hat{H E O} = 90 °$ .

Suy ra HE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Xét tam giác HEO vuông tại E, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

HO² = HE² + EO² suy ra HE² = 8² – 4² = 12. Suy ra HE = $2 \sqrt{3}$ cm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học