Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau.

1. Phương pháp giải

• Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Giả thiết	Tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau tại M (A và B là tiếp điểm)
Kết luận	MA = MB $\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$ $\widehat{O_1}=\widehat{O{}_2}$ MO là trung trực của AB

Chú ý: MO là trung trực của AB thì phải chứng minh chứ không được dùng là giả thiết bài toán. Ta chứng minh như sau:

∆AMB cân tại M (do MA = MB) và MO là đường phân giác $\widehat{AMB}$ (do $\widehat{M_1}=\widehat{M_2}$) nên là MO là trung trực của AB.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính giá trị của x trong hình vẽ dưới đây

Hướng dẫn giải

Ta có: BA, BC là hai tiếp tuyến của đường tròn (D) cắt nhau tại B nên: BA = BC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó 4x – 9 = 15 hay 4x = 24 suy ra x = 6.

Ví dụ 2. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M nằm ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến ME, MF (E, F là các tiếp điểm) sao cho $\widehat{EMO}=30°$. Biết chu vi tam giác MEF là 30 cm.

a) Tính độ dài dây EF.

b) Tính diện tích ∆MEF.

Hướng dẫn giải

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$\widehat{EMO}=\widehat{OMF}=30°$, suy ra $\widehat{EMF}=60°$.

Tam giác EMF có EM = MF (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) và $\widehat{EMF}=60°$.

Suy ra ∆EMF đều.

Do đó, ME = EF = FM = 30 : 3 = 10 cm.

b) Gọi I là giao điểm của EF và OM.

Xét tam giác IEM vuông tại I, ta có: IM = EM.cos$\widehat{EMO}$ = 10.cos30° = $5\sqrt{3}$ cm.

Diện tích tam giác MEF là: $\frac{1}{2}$.EF.MI = $25\sqrt{3}$cm².

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai tiếp tuyến tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.

A. Khoảng cách từ điểm đó đến hai tiếp tuyến là bằng nhau.

B. Tia nối điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.

C. Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính.

D. Tia nối từ điểm đó tới tâm là tia phân giác của góc tạo bởi tiếp tuyến.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của các góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm.

Bài 2. “Cho hai tiếp tuyến của một đường trong cắt nhau tại một điểm. Tia nối từ điểm đó tới tia phân giác của góc tạo bởi…… Tia nối từ tâm tới điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi …..”. Hai cụm từ thích hợp vào chỗ trống lần lượt là:

A. Hai tiếp tuyến, hai bán kính đi qua tiếp điểm.

B. Hai bán kính đi qua tiếp điểm, hai tiếp điểm.

C. Hai tiếp tuyến, hai dây cung.

D. Hai dây cung, hai bán kính.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Bài 3. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. OA ⊥ BC.

B. OA là đường trung trực của BC.

C. AB = AC.

D. OA ⊥ BC là H trung điểm của OA.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi H là giao điểm của BC với AO.

Xét (O) có hai tiếp tuyến tại B và C cắt nhau tại A nên AB = AC (tính chất).

Lại có OB = OC nên OA là đường trung trực của BC hay AO ⊥ BC tại H là trung điểm của BC.

Chưa thể kết luận H có là trung điểm của AO hay không nên D sai.

Bài 4. Hai tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại A. Biết OB = 3 cm, OA = 5 cm. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?

A. AC = AB = 4 cm.

B. $\widehat{BAO}=\widehat{CAO}$.

C. sin$\widehat{OBA}=\frac{4}{5}$.

D. sin$\widehat{COA}=\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên AB = AC, $\widehat{BAO}=\widehat{CAO}$, $\widehat{BOA}=\widehat{COA}$.

Xét ∆ABO vuông tại B có OB = 3 cm, OA = 5 cm, theo định lí Pythagore ta có:

AB = $\sqrt{O{A}^2-O{B}^2}=4$ cm.

Nên AC = AB = 4 cm hay đáp án A đúng.

Xét tam giác AOB vuông tại B có sin$\widehat{ABO}$ = $\frac{AB}{OA}=\frac{4}{5}$ nên C đúng.

Mà $\widehat{BOA}=\widehat{COA}$ nên sin$\widehat{COA} = \frac{4}{5}$ do đó D sai.

Đáp án cần chọn là D.

Bài 5. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc $\widehat{AMB}=120°$. Biết chu vi tam giác MAB là 6(3 + $2\sqrt{3}$) cm, tính độ dài AB.

A. 18 cm.

B. $6\sqrt{3}$ cm.

C. $12\sqrt{3}$ cm.

D. 15 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi R là bán kính của (O).

Xét (O) có MA = MB, $\widehat{AMO}=\widehat{BMO}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Nên $\widehat{AMO}=60°$.

Xét tam giác vuông AOM có AM = AO.cot$\widehat{AMO}=\frac{R\sqrt{3}}{3}$.

nên MA = MB = $\frac{R\sqrt{3}}{3}$.

Lại có $\widehat{AOB}+\widehat{AMB}=180°$ suy ra $\widehat{AOB}=60°$ suy ra tam giác AOB đều

hay AB = OB = OA = R.

Chu vi tam giác MAB là MA + MB + AB = $\frac{R\sqrt{3}}{3}+\frac{R\sqrt{3}}{3}+R=R\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)$.

Mà chu vi tam giác MAB bằng 6(3 + $2\sqrt{3}$) nên

$R\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}+1\right)=6(3+2\sqrt{3})$ suy ra R = 18 cm hay AB = 18 cm.

Bài 6. Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), vẽ hai tiếp tuyến MA và MB sao cho góc $\widehat{AMB}=60°$. Biết chu vi tam giác MAB là 24 cm, tính độ dài bán kính của đường tròn.

A. 8 cm.

B. $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm.

C. 4 cm.

D. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi R là bán kính của (O).

Xét (O) có MA = MB, $\widehat{AMO}=\widehat{BMO}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Ta có: $\widehat{AMB}=60°$ nên tam giác ABM đều.

Do đó, chu vi tam giác ABM là: MA + MB + AB = 3AB = 24  suy ra AB = 8 cm.

Lại có $\widehat{AMO}=\widehat{BMO}=\frac{1}{2}\widehat{AMB}=30°$.

Xét tam giasv AMO vuông tại A có tan$\widehat{AMO}=\frac{OA}{MA}$

suy ra OA = MA.tan30° = $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ cm.

Bài 7. Hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại I. Đường thẳng qua I và vuông góc với IA cắt OB tại K. Chọn khẳng định đúng.

A. OI = OK = KI.

B. KI = KO.

C. OI = OK.

D. ỌI = IK.

Hướng dân giải

Đáp án đúng là: B

Xét (O) có IA, IB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại I nên $\widehat{AOI}=\widehat{KOI}$.

Mà OA ∕∕ KI (vì cùng vuông góc với AI) nên $\widehat{AIO}=\widehat{KIO}$ (so le trong)

Từ đó $\widehat{KIO}=\widehat{KOI}$ suy ra ∆KOI cân tại K suy ra KI = KO.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9, 10.

Cho nửa đường tròn O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn cùng phía đối với AB. Từ điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax và By lần lượt lượt tại C và D.

Bài 8. Cho OD = BA = 2R. Tính AC và BD theo R.

A. BD = $R\sqrt{2}$; AC = $\frac{R\sqrt{2}}{2}$.

B. BD = $R\sqrt{3}$; AC = $R\sqrt{2}$.

C. BD = 2R; AC = R.

D. BD = $R\sqrt{3}$; AC = $\frac{R\sqrt{3}}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét nửa đường tròn (O) có MC và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C nên OC là tia phân giác của $\widehat{MOA}$ do đó $\widehat{AOC}=\widehat{COM}$.

Lại có MD và BD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D nên OD là tia phân giác của $\widehat{MOB}$ do đó $\widehat{DOB}=\widehat{DOM}$.

Từ đó $\widehat{AOC}+\widehat{BOD}=\widehat{COM}+\widehat{MOD}$ = $\frac{\widehat{AOC}+\widehat{BOD}+\widehat{COM}+\widehat{MOD}}{2}=\frac{180°}{2}=90°$.

Nên $\widehat{COD}=90°$ hay tam giác COD vuông tại O và $\widehat{MDO}=\widehat{MOC}$.

Xét ∆CMO và ∆OMD có $\widehat{MDO}=\widehat{MOC}$ và $\widehat{DMO}=\widehat{OMC}=90°$.

Do đó ∆CMO ∽ ∆OMD (g.g) suy ra $\frac{MC}{MO}=\frac{MO}{MD}$ hay MO² = MC.MD.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BDO ta có:

BD = $\sqrt{O{D}^2-O{B}^2}=R\sqrt{3}$.

Mà MD = BD; MC = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên MD = $R\sqrt{3}$.

MÀ MO² = MC.MD (cmt) nên MC = $\frac{O{M}^2}{MD}=\frac{R^2}{R\sqrt{3}}=\frac{R\sqrt{3}}{3}$ nên AC = $\frac{R\sqrt{3}}{3}$.

Vậy BD = $R\sqrt{3}$ và AC = $\frac{R\sqrt{3}}{3}$.

Bài 9. Cho AB = 10 cm. Khi đó, MC.MD bằng

A. 25 cm².

B. 16 cm².

C. 100 cm².

D. 5 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có AB = 2R = 10 cm suy ra R = 5 cm.

Từ câu 9, có MC.MD = OM² = R² = 25 cm².

Bài 10. Cho OD = 8 cm, OB = 5 cm. Tính AC và BD được

A. BD = $\frac{25\sqrt{39}}{39}$; AC = $\sqrt{39}$.

B. BD = $\sqrt{39}$; AC = $\frac{25\sqrt{39}}{39}$.

C. BD = 7; AC = $\frac{25}{7}$.

D. BD = $\sqrt{39}$; AC = $\frac{25}{9}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác BOD, ta có:

BD = $\sqrt{O{D}^2-O{B}^2}=\sqrt{8^2-5^2}=\sqrt{39}$ cm.

Mà MD = BD, MC = AC (tính chất hia tiếp tuyến cắt nhau) nên MD = $\sqrt{39}$ cm.

Ta có: MC.MD = OM² = OB² = 25 suy ra MC = $\frac{25}{MD}=\frac{25}{\sqrt{39}}=\frac{25\sqrt{39}}{39}$.

Do đó, AC = MC = $\frac{25\sqrt{39}}{39}$.

Vậy BD = $\sqrt{39}$ và AC = $\frac{25\sqrt{39}}{39}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn
• Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn
• Các bài toán về hai đường tròn tiếp xúc nhau, cắt nhau và không cắt nhau

---