Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn.

1. Phương pháp giải

• Đoạn thẳng nối hai điểm phân biệt thuộc đường tròn được gọi là dây (hay dây cung) của đường tròn.

• Dây đi qua tâm là đường kính của đường tròn.

Định lí: Trong một đường tròn, đường kính là dây cung lớn nhất.

• Bất kì đường kính nào xũng là trục đối xứng của đường tròn đó.

• Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính của đường tròn đó.

Bổ đề 1. Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Chứng minh:

Xét tam giác COD cân tại O (OC = OD) và OB là đường cao nên OB là đường trung trực của đoạn thẳng CD, do đó OB là trung tuyến. Vì vậy OB đi qua trung điểm CD.

Bổ đề 2. Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Chứng minh:

Xét tam giác COD cân tại O (OC = OD) và OB là đường trung tuyến nên OB là đường trung trực của đoạn thẳng CD. Do đó, OB vuông góc với CD.

Chú ý: Khi dùng hai bổ đề trên ta phải chứng minh vì trong sách giáo khoa không đề cập đến.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đường tròn (I) có các dây cung AB, CD, EF. Cho biết AB và CD đi qua tâm I, EF không di qau I (Hình vẽ). Hãy so sánh độ dài cung AB, CD, EF.

Hướng dẫn giải

Do AB, CD là đường kính nên AB = CD; EF là dây cung nên EF < AB = CD.

Ví dụ 2. Trong hình bên, so sánh độ dài của các đoạn thẳng OC, PQ với AB.

Hướng dẫn giải

Trong đường tròn (O), AB là đường kính , OC là bán kính và PQ là dây cung không đi qua O.

Do đó AB = 2OC và PQ < AB.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB và dây CD không đi qua tâm. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AB > CD.

B. AB = CD.

C. AB < CD.

D. AB ≤ CD.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính nên AB > CD.

Bài 2. “Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài….”. Cụm từ thích hợp điền vào chỗ trông là:

A. Nhỏ nhất.

B. Lớn nhất.

C. Bằng 10 cm.

D. Bằng tổng hai dây bất kì.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Trong các dây của một đường tròn, đường kính là dây có độ dài lớn nhất.

Bài 3. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. Đoạn thẳng nối hai điểm tùy ý của một đường tròn gọi là một dây cung của đường tròn.

B. Mỗi dây đi qua tâm là một đường kính của đường tròn.

C. Khi dây AB không là đường kính của đường tròn tâm (O; R) thì AB ≤ 2R.

D. Khi dây AB là đường kính của đường tròn tâm O bán kính R, ta có:

AB = OA + OB = 2R.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dựa vào khái niệm dây và đường kính, mối quan hệ giữa dây và đường kính có đáp án A, B, D, là đúng.

Khi dây AB không là đường kính của đường tròn (O; R) thì AB < 2R.

Bài 4. Xét dây AB tùy ý không đi qua tâm của đường tròn (O; R). Khi đó:

A. AB < R.

B. AB = R.

C. AB ≤ 2R.

D. AB < 2R.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Dây AB tùy ý không đi qua tâm nên AB < 2R.

Bài 5. Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến hai dây là bằng nhau. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. AB > CD.

B. AB = CD.

C. AB < CD.

D. AB ∕∕ CD.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác EAO và GDO ta có:

AE = $\sqrt{A{O}^2-O{E}^2}=DG=\sqrt{O{D}^2-O{G}^2}$.

Từ đây, suy ra AB = CD = 2AE = 2DG.

Lưu ý: Trong một đường tròn hay dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Bài 6. Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD không đi qua tâm. Biết rằng khoảng cách từ tâm đến dây AB lớn hơn khoảng cách từ tâm đến dây CD. Kết luận nào sau đây là đúng?

A. AB > CD.

B. AB = CD.

C. AB < CD.

D. AB ∕∕ CD.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông AOE, ta có:

AE = $\sqrt{A{O}^2-O{E}^2}$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông DOG, ta có:

DG = $\sqrt{O{D}^2-O{G}^2}$.

Và OE > OG; OA = OC từ đó suy ra AE < GD.

Do đó, AB < CD.

Lưu ý để giải toán: Trong một đường tròn, dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Bài 7. Cho đường tròn đường kính MN. Với P là một điểm bất kì (khác M và N) nằm trên đường tròn. Khi đó

A. MP + NP < MN.

B. MP – NP ≥ MN.

C. MN < MP + NP ≤ 2MN.

D. MN < MP + NP < 2MN.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác MNP, có: MN < MP + NP (bất đẳng thức tam giác).

Bài 8. Cho đường tròn (O) có bán kính R = 5 cm. Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 3 cm. Tính độ dài dây AB.

A. AB = 6 cm.

B. AB = 8 cm.

C. AB = 10 cm.

D. AB = 12 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Kẻ OH vuông với AB tại H, do đó OH = 3 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAH, ta có:

AH² + OH² = OA²

AH² = OA² – OH²

Suy ra AH = $\sqrt{O{A}^2-O{H}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm.

Tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O.

Mà OH vuông với AB tại H nên H là trung điểm của AB.

Do đó, AB = 2AH = 8 cm.

Bài 9. Cho đường tròn (O) có bán kính R = 6,5 cm. Khoảng cách từ tâm đến dây AB là 2,5 cm. Tính độ dài dây AB.

A. AB = 6 cm.

B. AB = 8 cm.

C. AB = 10 cm.

D. AB = 12 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Kẻ OH vuông với AB tại H, do đó OH = 2,5 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác OAH, ta có:

AH² + OH² = OA²

AH² = OA² – OH²

Suy ra AH = $\sqrt{O{A}^2-O{H}^2}=\sqrt{{\mathrm{6,5}}^2-{\mathrm{2,5}}^2}$ = 6 cm.

Tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O.

Mà OH vuông với AB tại H nên H là trung điểm của AB.

Do đó, AB = 2AH = 12 cm.

Bài 10. Cho đườn tròn (O; R) có hai dây AB, CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I. Giả sử IA = 2 cm, IB = 4 cm. Tổng khoảng cách từ tâm O đến dây AB và CD là

A. 4 cm.

B. 1 cm.

C. 3 cm.

D. 2 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét đường tròn (O).

Kẻ OE ⊥ AB tại E suy ra E là trung điểm của AB, kẻ OF ⊥ CD tại F.

Vì dây AB = CD nên OE = OF (hai dây bằng nhau thì cách đều tâm).

Xét tứ giác OEIF có $\widehat{E}=\widehat{F}=\widehat{I}=90°$ nên OEIF  là hình chữ nhật và OE = OF nên OEIF là hình vuông.

Suy ra OE = OF = EI.

Mà AB = IA + IB = 6 cm nên EB = 3 cm.

Suy ra IE = EB – IB = 1 cm nên OE = OF = 1 cm.

Vậy tổng khoảng cách từ tâm đến hai dây AB, CD là 2 cm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Góc ở tâm và số đo cung bị chắn
• Tính độ dài đường tròn, cung tròn
• Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn

---