Góc ở tâm và số đo cung bị chắn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Góc ở tâm và số đo cung bị chắn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Góc ở tâm và số đo cung bị chắn.

1. Phương pháp giải

• Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn.

• Khái niệm cung tròn

- Mỗi phần đường tròn giới hạn bởi hai điểm A, B trên đường tròn gọi là cung AB, kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AB}$.

- Cung nằm bên trong tâm AOB được gọi là cung nhỏ, kí hiệu là  $\stackrel{⏜}{AmB}$. Ta còn nói $\stackrel{⏜}{AmB}$ là cung bị chắn bởi góc AOB hay góc AOB chắn cung nhỏ $\stackrel{⏜}{AmB}$.

- Cung nằm bên ngoài góc ở tâm AOB gọi là cung lớn, kí hiệu là $\stackrel{⏜}{AnB}$.

p class="MsoNormal">• Tính số đo góc ở tâm và cung bị chắn

- Đưa về cách tính số đo một góc của tam giác.

- Để tính số đo của cung nhỏ, ta tính số đo của góc ở tâm tương ứng.

- Để tính số đo của cung lớn, ta lấy 360° trừ đi số đo của cung nhỏ.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của một góc nhọn để tính góc.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính số đo cung AB nhỏ trong hình dưới đây, biết rằng $\widehat{AOC}=30°$ và $\widehat{BOC}=80°$.

Hướng dẫn giải

Điểm C nằm trên cung nhỏ AB nên ta có: $sd\stackrel{⏜}{AB}=sd\stackrel{⏜}{AC}+sd\stackrel{⏜}{BC}$(1)

Góc ở tâm $\widehat{AOC}=30°$ chắn cung AC nên $sd\stackrel{⏜}{AC}=\widehat{AOC}=30°$.

Góc ở tâm $\widehat{BOC}=80°$ chắn cung BC nên $sd\stackrel{⏜}{BC}=\widehat{BOC}=80°$.

Thay vào (1) ta được $sd\stackrel{⏜}{AB}=sd\stackrel{⏜}{AC}+sd\stackrel{⏜}{BC}$ = 30° + 80° = 110°.

Ví dụ 2. Cho hình vẽ sau:

a) Tính số đo cung nhỏ AB.

b) Tính số đo cung nhỏ AC.

c) Tính số đo cung lớn BC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $sd\stackrel{⏜}{AB}=\widehat{AOB}=110°$ (góc ở tâm chắn cung AB).

b) Xét tam giác AOB có AO = OB = R.

Suy ra tam giác AOB cân tại O nên $\widehat{ACO}=\widehat{CAO}=30°$.

$\widehat{AOC}+\widehat{ACO}+\widehat{CAO}=180°$ (tổng ba góc trong tam giác)

$\widehat{AOC}+30°+30°=180°$

Suy ra $\widehat{AOC}=180°-\left(30°+30°\right)=120°$.

Suy ra $sd\stackrel{⏜}{AC}=\widehat{AOC}=120°$ (góc ở tâm chắn cung AC).

c) Ta có: $\widehat{BOC}+\widehat{AOC}+\widehat{AOB}=360°$.

Suy ra $\widehat{BOC}=130°$.

Do đó số đo cung lớn BC bằng 130°.

3. Bài tập tự luận

Bài 1. Chọn khẳng định đúng. Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là:

A. Góc ở tâm.

B. Góc tạo bởi hai bán kính .

C. Góc bên ngoài đường tròn.

D. Góc bên trong đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được góc ở tâm.

Bài 2. Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn thì

A. Có số đo lớn hơn.

B. Có số đo nhỏ hơn 90°.

C. Có số đo lớn hơn 90°.

D. Có số đo nhỏ hơn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, cung nào nhỏ hơn thì có số đo nhỏ hơn.

Bài 3. Chọn câu đúng. Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

A. Hai cung bằng nhau nếu chúng đều là cung nhỏ.

B. Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo nhỏ hơn 90°.

C. Hai cung bằng nhau nếu chúng đều là cung lớn.

D. Hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Trong hai cung của một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau, hai cung bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 4, 5

Cho hai tiếp tuyến tại A và B của đường tròn (O) cắt nhau tại M, biết $\widehat{AMB}=50°$.

Bài 4. Tính $\widehat{AMO}$ và  $\widehat{BOM}$ được

A. $\widehat{AMO}=35°,\widehat{MOB}=55°$.

B. $\widehat{AMO}=65°,\widehat{MOB}=25°$.

C. $\widehat{AMO}=25°,\widehat{MOB}=65°$.

D. $\widehat{AMO}=55°,\widehat{MOB}=35°$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OM là tia phân giác của $\widehat{AOB}$; MO là tia phân giác của $\widehat{AMB}$ hay $\widehat{AMO}=\frac{1}{2}\widehat{AMB}=25°$.

MÀ tam giác OAM vuông tại A (do MA là tiếp tuyến) nên $\widehat{AOM}=90°-\widehat{AMO}=65°$.

Mà OM là tia phân giác của $\widehat{AOB}$ nên $\widehat{MOB}=\widehat{MOA}=65°$.

Vậy $\widehat{OMA}=25°;\widehat{MOB}=65°$.

Bài 5. Số đo cung AB nhỏ và số đo cung AB lớn lần lượt là:

A. 130°; 250°.

B. 150°; 250°.

C. 130°; 230°.

D. 150°; 210°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tứ giác OAMB có $\widehat{BOA}+\widehat{OBM}+\widehat{OAM}+\widehat{AMB}=360°$.

Suy ra $\widehat{BOA}=360°-\left(\widehat{OBM}+\widehat{OAM}+\widehat{AMB}\right)$ = 360° - (90° + 90° + 50°) = 130°.

Vậy số đo của cung nhỏ AB là 130°, số đo cung lớn AB là: 360° − 130° = 230°.

Bài 6. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Số đo cung BC nhỏ là:

A. 240°.

B. 60°.

C. 180°.

D. 120°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tam giác ABC đều có tâm O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là giao ba được phân giác nên BO, CO lần lượt là các đường phân giác $\widehat{ABC},\widehat{ACB}$.

Ta có: $\widehat{BCO}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=30°$;  $\widehat{CBO}=\frac{1}{2}\widehat{ABC}=30°$.

Xét tam giác BOC có $\widehat{BOC}=180°-\widehat{CBO}-\widehat{BCO}$ = 180° - 30° - 30° = 120°.

Do đó, số đo cung nhỏ BC là 120°.

Cách 2. Ta có: $\widehat{BOC}=2\widehat{BAC}=120°$ (góc nội tiếp và góc ở tâm).

Do đó số đo cung nhỏ BC là 120°.

Bài 7. Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O). Tính số đo cung AC lớn.

A. 240°.

B. 60°.

C. 360°.

D. 210°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác ABC đều có tâm O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên O cũng là giao ba được phân giác nên AO, CO lần lượt là các đường phân giác $\widehat{ABC},\widehat{ACB}$.

Ta có: $\widehat{CAO}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}=30°$; $\widehat{ACO}=\frac{1}{2}\widehat{ACB}=30°$.

Xét tam giác AOC có $\widehat{AOC}=180°-\widehat{ACO}-\widehat{CAO}=120°$.

Do đó, số đo cung nhỏ AC là 120°.

Nên số đo cung lớn AC là: 360° − 120° = 240°.

Sử dụng dữ liệu bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9

Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = 2R. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm)

Bài 8. Số đo góc $\widehat{AOM}$ là

A. 30°.

B. 120°.

C. 50°.

D. 60°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác AOM vuông tại A ta có:

cos AOM = $\frac{AO}{OM}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$ suy ra $\widehat{AOM}=60°$.

Bài 9. Số đo cung AB nhỏ là

A. 240°.

B. 120°.

C. 360°.

D. 210°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét đường tròn (O) có MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của $\widehat{AOB}$.

Suy ra $\widehat{AOB}=2\widehat{AOM}=2.60°=120°$ mà $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung AB nên số đo cung nhỏ AB là 120°.

Bài 10. Cho đường tròn (O; R), lấy điểm M nằm ngoài (O) sao cho OM = $R\sqrt{2}$. Từ M kẻ tiếp tuyến MA và MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Số đo cung lớn AB lớn là:

A. 270°.

B. 90°.

C.180°.

D. 210°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat{BMO}=45°$.

Xét tam giác OBM vuông tại B (do BM là tiếp tuyến của (O) có $\widehat{BMO}=45°$ nên

$\widehat{BOM}=90°-45°=45°$.

Xét đường tròn (O) có MA, MB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại M nên OM là tia phân giác của góc $\widehat{AOB}=2.\widehat{BOM}=2.45°=90°$ mà $\widehat{AOB}$ là góc ở tâm chắn cung AB.

Do đó, số đo cung nhỏ AB là 90°.

Vậy số đo cung lớn AB là 360° − 90° = 270°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính độ dài đường tròn, cung tròn
• Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài đoạn thẳng, góc liên quan đến tiếp tuyến của đường tròn
• Tính độ dài, diện tích, góc liên quan đến tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

---