Tính bán kính đường tròn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính bán kính đường tròn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính bán kính đường tròn.

1. Phương pháp giải

• Để chứng minh các điểm cho trước cùng nằm trên một đường tròn, ta làm như sau:

Cách 1. Chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều một điểm cho trước nào đó.

Cách 2. Nếu $\widehat{BAC}=90°$ thì A thuộc đường tròn đường kính BC.

Xét tam giác vuông ABC, có AO là đường trung tuyến nên AO = $\frac{1}{2}$BC suy ra AO = OB = OC.

• Sử dụng kiến thức về các tỉ số lượng giác, định lí Pythagore, tam giác đồng dạng,... để tính bán kính đường tròn trong các bài toán.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Chứng minh rằng ba điểm A, B, C cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn đi qua 3 đỉnh A, B, C là trung điểm của cạnh huyền BC.

Suy ra A, B, C cùng thuộc một đường tròn bán kính $\frac{BC}{2}$.

Gọi E là trung điểm của BC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

AB² + AC² = BC²

6² + 8² = BC²

Suy ra BC = 10 cm.

Suy ra bán kính đường tròn đi qua ba cạnh A, B, C là: $\frac{BC}{2}$ = 5 cm.

Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD có E là giao điểm của hai đường chéo.

a) Chứng minh rằng có một đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D. Xác định tâm đối xứng và hai trục đối xứng của đường tròn đó.

b) Tính bán kính của đường tròn đó nếu hình vuông có cạnh bằng 3 cm.

Hướng dẫn giải

a) Vì hình vuông ABCD có tâm E suy ra EA = EB = EC = ED.

Do đó, các điểm A, B, C và D cũng thuộc đường tròn tâm E.

Hai trục đối xứng của đường tròn là AC và BD.

b) Cạnh hình vuông bằng 3 cm nên áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=3\sqrt{2}$

Suy ra EA = $\frac{AC}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Vậy bán kính của đường tròn là R = EA = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính bán kính R của đường tròn đi qua cả bốn đỉnh của hình vuông ABCD cạnh 3 cm.

A. R = $3\sqrt{2}$ cm.

B. R = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm.

C. R = 3 cm.

D. R = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD. Khi đó theo tính chất của hình vuông, ta có: OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, bán kính R = OA = $\frac{AC}{2}$.

Xét tam giác ABC vuông cân tại B, ta có:

AC = $\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=3\sqrt{2}$

Suy ra OA = $\frac{AC}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Vậy bán kính của đường tròn là R = OA = $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ cm.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 15 cm, AC = 20 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. R = 25.

B. R = $\frac{25}{2}$.

C. R = 15.

D. R = 20.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC, ban kính R = $\frac{BC}{2}$.

Theo định lí Pythagore ta có: BC = $\sqrt{A{C}^2+A{B}^2}$ = 25 nên bán kính R = $\frac{25}{2}$.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm; AC = 12 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

A. R = 26.

B. R = 13.

C. R = $\frac{13}{2}$.

D. R = 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC, ban kính R = $\frac{BC}{2}$.

Theo định lí Pythagore ta có: BC = $\sqrt{A{C}^2+A{B}^2}$ = 13 nên bán kính R = $\frac{13}{2}$.

Bài 4. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12 cm, BC = 5 cm. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn đỉnh A, B, C, D.

A. R = 7,5 cm.

B. R = 13 cm.

C. R = 6 cm.

D. R = 6,5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo, ta có: IA = IB = IC = ID (vì BD = AC và I là trung điểm của mỗi đường).

Nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = $\frac{AC}{2}$.

Theo định lí Pythagore trong tam giác ABC ta có:

AC = $\sqrt{B{C}^2+A{B}^2}$ = 13 cm.

Do đó, R = $\frac{AC}{2}$ = 6,5 cm.

Vậy bán kính cần tìm là R = 6,5 cm.

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8 cm, BC = 6 cm. Tính bán kính đường tròn đi qua bốn đỉnh A, B, C, D.

A. R = 5 cm.

B. R = 10 cm.

C. R = 6 cm.

D. R = 2,5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo, ta có: IA = IB = IC = ID (vì DB = AC và I là trung điểm mỗi đường)

Nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = $\frac{AC}{2}$.

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:

AC = $\sqrt{B{C}^2+A{B}^2}=\sqrt{6^2+8^2}$ = 10 nên R = $\frac{AC}{2}$ = 5 cm.

Vậy bán kính cần tìm là R = 5 cm.

Bài 6. Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B sao cho AB = 4 cm và khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d là 1 cm. Tính bán kính đường tròn (O).

A. $\sqrt{3}$ cm.

B. $\sqrt{5}$ cm.

C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$ cm.

D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O.

Có OH vuông góc với AB tại H nên H là trung điểm của AB.

Xét tam giác HAO vuông tại H có OH = 1 cm và AH = $\frac{AB}{2}$ = 2 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác HOA, ta có:

OA² = OH² + HA² = 1² + 2² = 5

Suy ra OA = $\sqrt{5}$ cm.

Vậy bán kính đường tròn là $\sqrt{5}$ cm.

Bài 7. Cho tam giác ABC cạnh bằng 4 cm, các đường cao là BM và CN. Gọi D là trung điểm cạnh BC. Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm B, N, M, C là:

A. 2 cm.

B. 4 cm.

C. 6 cm.

D. 8 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác vuông BNC, có: ND = BD = DC = $\frac{1}{2}$ BC (1).

Xét tam giác vuông BMC, có: MD = BD = DC = $\frac{1}{2}$ BC (2).

Từ (1), (2) suy ra MD = ND = BD = DC = $\frac{1}{2}$ BC.

Nên bốn điểm M, N, B, C cùng thuộc một đường tròn tâm D bán kính

$\frac{1}{2}$ BC = 2 cm.

Bài 8. Cho hình cuông ABCD cạnh 4 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Gọi E là giao điểm của CM và DN. Bán kính của đường tròn đi qua bốn điểm A, D, E, M là

A. R = 5 cm.

B. R = 10 cm.

C. R = $2\sqrt{5}$ cm.

D. R = $\sqrt{5}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\widehat{CDN}=\widehat{ECN}$ (cùng phụ với $\widehat{CNE}$) nên $\widehat{CNE}+\widehat{ECN}=\widehat{CNE}+\widehat{CDN}=90°$

Suy ra $\widehat{CEN}=90°$ do đó, CM ⊥ DN.

Gọi I là trung điểm của DM.

Xét tam giác vuông ADM có AI = ID = IM = $\frac{DM}{2}$. Xét tam giá vuông DEM có EI = ID = IM = $\frac{DM}{2}$ nên EI = ID = IM = IA = $\frac{DM}{2}$.

Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = $\frac{DM}{2}$.

Xét tam giác ADM vuông tại A có AD = 4 cm, AM = $\frac{AB}{2}$ = 2 cm nên theo định lý Pythagore ta có:

DM = $\sqrt{A{D}^2+A{M}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.

Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm A, D, E, M là

R = $\frac{DM}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}$ cm.

Bài 9. Cho tam giác ABC cân ở A, đường cao AH = 2 cm, BC = 8 cm. Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng AH ở D. Tính đường kính của đường tròn đi qua các điểm A, B, C, D.

A. d = 8 cm.

B. d = 12 cm.

C. d = 10 cm..

D. d = 5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\widehat{CAD}=\widehat{DAB}$.

Suy ra ∆ACD = ∆ABD (c.g.c) nên $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}=90°$.

Lấy I là trung điểm AD, Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có:

IA = ID = IB = IC = $\frac{DA}{2}$.

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I đường kính AD.

Vì BC = 8 cm suy ra BH = 4 cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB, ta có:

AB = $\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$.

Ta có ∆ABD đồng dạng với ∆HAB suy ra AB² = AH.AD

hay AD = $\frac{A{B}^2}{AH}=\frac{20}{2}$ = 10 cm.

Vậy đường kính cần tìm là 10 cm.

Bài 10. Cho tam giác đều ABC. Biết rằng đường tròn (O; 4cm) đi qua ba đỉnh của tam giác. Tính diện tích tam giác ABC.

A. 24 cm².

B. $24\sqrt{3}$ cm².

C. 12 cm².

D. $12\sqrt{3}$ cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tam giác ABC đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp (đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C là R = $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Suy ra 3R = $a\sqrt{3}$ hay a = $R\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$ cm.

Mặt khác O là trọng tâm tam giác ABC và AH vừa là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.

Suy ra R = OA = $\frac{2}{3}$AH. Hay AH = $\frac{3}{2}R=\frac{3.4}{2}=6$ (cm).

Diện tích tam giác ABC là S = $\frac{1}{2}\mathrm{.6.4}\sqrt{3}=12\sqrt{3}$ cm².

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Liên hệ giữa đường kính và dây của đường tròn
• Góc ở tâm và số đo cung bị chắn
• Tính độ dài đường tròn, cung tròn
• Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Bài toán thực tế về độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên
• Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn

---