Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai.

1. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Một chuyển động có phương trình s = f(t) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có: a(t) = f”(t).

2. Ví dụ minh họa về ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Ví dụ 1. Một vật chuyển động thẳng có phương trình s (t) = t² + t³ (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây.

Hướng dẫn giải

Ta có: s’(t) = 2t + 3t²; s”(t) = 2 + 6t.

Gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là: s”(3) = 2 + 6.3 = 20 (m/s²).

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t = 3 giây là 20 m/s².

Ví dụ 2. Xét dao động điều hòa có phương trình chuyển động là $s\left(t\right)=3\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng m. Tìm gia tốc tức thời tại điểm $t=\frac{\pi }{3}$ giây.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$s\text{'}\left(t\right)=\left[3\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)\right]=-9\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$; $s\text{'}\text{'}\left(t\right)=\left[-9\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)\right]=-27\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$

Gia tốc tức thời tại điểm $t=\frac{\pi }{3}$ giây là:

$s\text{'}\text{'}\left(\frac{\pi }{3}\right)=-27\cos \left(3.\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{27\sqrt{2}}{2}$.

Vậy gia tốc tức thời tại điểm $t=\frac{\pi }{3}$ giây là $\frac{27\sqrt{2}}{2}$ m/s².

Ví dụ 3. Một vật có phương trình chuyển động $s\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3-2t^2+3t+6$, trong đó t > 0, t được tính bằng giây, s(t) tính bằng mét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng –1m/s.

Hướng dẫn giải

Ta có: $s\text{'}\left(t\right)=t^2-4t+3$, s''(t) = 2t – 4.

Theo giả thiết, s’(t) = –1 ⇔ t² – 4t + 3 = –1 ⇔ (t – 2)² = 0 ⇔ t = 2.

Gia tốc thời của vật tại thời điểm t = 2 là: s”(2) = 2.2 – 4 = 0 (m/s²).

Vậy gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm mà vận tốc tức thời của chất điểm bằng –1m/s là 0 m/s².

3. Bài tập về ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Bài 1. Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản của không khí) được cho bởi phương trình $x\left(t\right)=2\cos \left(\mathrm{\pi t}+\frac{\pi }{4}\right)$, ở đó x tính bằng cm và thời gian t tính bằng giây. Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 6 giây.

Bài 2. Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi hàm số $s\left(t\right)=20+\sin \left(\mathrm{\pi t}+\frac{\pi }{6}\right)$, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng cm. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 4 giây, t = 2 giây.

Bài 3. Một chất điểm chuyển động theo phương trình s(t) = t³ – 3t² + 3t + 1, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng m. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được 2 m.

Bài 4. Chuyển động của một vật có phương trình $s\left(t\right)=\sin \left(t+\frac{3\pi }{4}\right)$, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng cm. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0, gia tốc của vật bằng bao nhiêu?

Bài 5. Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3-\frac{1}{2}{t}^2+5t+1$, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng m. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm vận tốc tức thời của chất điểm đạt giá trị lớn nhất.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm là gì

• Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

• Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

• Hàm số hợp là gì

• Đạo hàm cấp hai là gì

---